Fonction caractéristique

En mathématiques, le terme « fonction caractéristique » peut faire référence à plusieurs concepts distincts :

• La fonction indicatrice d'un ensemble, c'est-à-dire c'est la fonction

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\},}$

qui pour un sous-ensemble A donné de X, associe la valeur 1 aux points de A et 0 aux points de ${\displaystyle X\setminus A}$.

• Il existe une fonction indicatrice pour les variétés affines sur un champ fini: [1] étant donné un ensemble fini de fonctions ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, soit ${\displaystyle V=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\}}$ l'ensemble des points d'annulation. Ensuite, la fonction ${\displaystyle P(x)=\prod (1-f_{\alpha }(x)^{q-1})}$ agit comme une fonction d'indicatrice pour ${\displaystyle V}$ . Si ${\displaystyle x\in V}$, alors ${\displaystyle P(x)=1}$, sinon, pour certains ${\displaystyle f_{\alpha }}$, on a ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$, ce qui implique que ${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$, Par conséquent ${\displaystyle P(x)=0}$ .
• La fonction caractéristique de l'analyse convexe, étroitement liée à la fonction d'indicateur d'un ensemble:

${\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

• Dans la théorie des probabilités, la fonction caractéristique de toute distribution de probabilité sur la droite réelle est donnée par la formule suivante, où X est une variable aléatoire avec la distribution en question:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),}$

où E est l'espérance. Pour les distributions multivariées, le produit tX est remplacé par un produit scalaire de vecteurs.

• La fonction caractéristique d'un jeu coopératif dans la théorie des jeux.
• Le polynôme caractéristique en algèbre linéaire.
• La fonction d'état caractéristique en mécanique statistique.
• La caractéristique d'Euler, un invariant topologique.
• La caractéristique de fonctionnement du récepteur dans la théorie de la décision statistique.
• La fonction caractéristique ponctuelle dans les statistiques.

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