Théorème de Slutsky

Soient (X_n) et (Y_n) des suites de variables aléatoires à valeur respectivement dans R^p et R^q.

Par exemple, si les X_n, Y_n sont des vecteurs ou des matrices pouvant être ajoutés ou multipliés, on a la convergence en loi de X_n + Y_n vers X + c, et de Y_nX_n vers cX.

Démonstration

L'implication directe est bien connue (preuve). Pour la réciproque il suffit de remarquer que ${\displaystyle O:=\{x:d(x,c)<\epsilon \}}$ est un ouvert et que par conséquent (voir le point 4 du Théorème porte-manteau)

${\displaystyle \liminf _{n}\mathbb {P} \left(Y_{n}\in O\right)\ \geq \ \mathbb {P} \left(c\in O\right)=1}$

Notes :

1. L'hypothèse selon laquelle Y_n converge vers une constante est importante — si la limite était une variable non dégénérée, le théorème ne serait plus valide.
2. Le théorème reste valide lorsqu'on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.

• Convergence de variables aléatoires

• (en) G. Grimmett et D. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford, 2001, 3^e éd.
• (en) Allan Gut, Probability : a graduate course, Springer-Verlag, 2005 (ISBN 0-387-22833-0, lire en ligne)
• (de) E. Slutsky, « Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte », Metron, vol. 5, n^o 3,‎ 1925, p. 3–89 Zbl 51.0380.03