Code (information)

Un codage d'un alphabet ${\displaystyle A}$ dans les mots d'un alphabet ${\displaystyle B}$ est une fonction injective

${\displaystyle c\colon A\rightarrow B^{+}}$

qui, à chaque symbole de l'alphabet ${\displaystyle A}$, associe un mot non vide sur l'alphabet ${\displaystyle B}$. L'ensemble image ${\displaystyle c(A)}$ est le code, et ses éléments sont des mots du code. L'application ${\displaystyle c}$ est étendue en un morphisme de demi-groupe, encore notée ${\displaystyle c}$, de ${\displaystyle A^{+}\to B^{+}}$ défini par

${\displaystyle c(a_{1}\cdots a_{n})=c(a_{1})\cdots c(a_{n})}$,

où ${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}}$ est un mot sur ${\displaystyle A}$. Un code ${\displaystyle c(A)}$ est à déchiffrage unique si l'extension de c à ${\displaystyle A^{+}}$ est injective, donc si

${\displaystyle c(a_{1}\cdots a_{n})=c(b_{1}\cdots b_{m})}$

implique ${\displaystyle n=m}$ et ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$. Un code est préfixe ou à décodage instantané si aucun mot du code n'est préfixe d'un autre mot du code. Tout code préfixe est à déchiffrage unique, la réciproque est fausse. Dans la littérature française en théorie mathématique des codes, un « code » est souvent synonyme de « code à déchiffrage unique ». Le codage d'un texte est, dans cette formulation, le plus simplement la succession des codages des lettres qui le composent, indépendamment d'une éventuelle interaction entre elles ; en cryptographie ou en compression de données, la succession des symboles dans le texte source est elle-même une composante du traitement.

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