Théorème de Dirichlet (séries de Fourier)

En analyse, le théorème de Dirichlet (ou de Jordan-Dirichlet) est un résultat de convergence ponctuelle pour les séries de Fourier.

Une première version du théorème a été prouvée par Dirichlet en 1829[1]. Faute d'une théorie de l'intégration adéquate, la preuve de Dirichlet ne permet de traiter que des fonctions assez particulières (monotones hors des points d'une subdivision).

Le théorème sera généralisé par Jordan en 1881 pour englober le cas de toutes les fonctions « localement à variation bornée »[2].

Énoncé

Soit ƒ une fonction localement intégrable sur $\mathbb {R}$ et de période $2π$ . Soit $x_{0}\in \mathbb {R}$ . On suppose que :

ƒ admet des limites à droite et à gauche en x₀, notées ƒ(x₀⁺) et ƒ(x₀⁻) ;
il existe $α > 0$ tel que les intégrales suivantes convergent :

\int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t

Alors, la série de Fourier de ƒ converge au point x₀ et admet pour limite

\lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}}

Notamment, le théorème s'applique lorsque la fonction admet des dérivées à droite et à gauche en x₀ (sans nécessairement être continue : il s'agit des dérivées à droite et à gauche des restrictions), et en particulier lorsqu'elle est de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux.

Démonstration

La démonstration du théorème s'appuie sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet.

D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},

S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt

On utilise la seconde écriture du noyau de Dirichlet

S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt

Cette écriture est proche de l'application du théorème de Riemann-Lebesgue, mais la fonction $t\mapsto {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}$ n'est pas intégrable a priori au voisinage de 0. On forme donc (en utilisant le changement de variable t'=-t pour replier la moitié de l'intégrale sur [0,π])

S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}(f(x^{+})+f(x^{-}))

Puis, en utilisant la valeur moyenne du noyau de Dirichlet $D n$ , on rentre les constantes dans l'intégrale :

S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt

Cette fois le théorème s'applique. Donc l'expression a bien une limite nulle.

Applications

Le théorème permet de traiter la convergence des séries de Fourier de signaux périodiques discontinus (signal carré, en dents de scie…) en donnant la valeur de la série sur tout le domaine.

Notes et références

Mr Lejeune-Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 4, 1829, p. 157-169, lire en ligne : sur arXiv:0806.1294 ou sur GDZ.
Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 92, 1881, p. 228-230, [lire en ligne].

Voir aussi

Bibliographie

Jean-Pierre Kahane et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes [détail des éditions]

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