Théorème de Fejér

Théorème de Fejér : Soit f une fonction localement intégrable et 2π-périodique. On note

${\displaystyle S_{n}(f)(x):=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}}$

le terme d'ordre n de sa série de Fourier, avec

${\displaystyle c_{k}(f):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kt}\,\mathrm {d} t}$,

puis

${\displaystyle \sigma _{N}(f)\colon x\longmapsto {\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}S_{n}(f)(x)}$

les moyennes de Cesàro successives des termes de la série de Fourier. On a alors les énoncés suivants :

• théorème de Fejér, version uniforme :

  Si f est continue, alors la série de fonctions ${\displaystyle \sigma _{N}(f)}$ converge uniformément vers la fonction f, avec en outre, pour tout N,

  ${\displaystyle \|\sigma _{N}(f)\|_{\infty }\leqslant \|f\|_{\infty }}$ ;

• théorème de Fejér, version L^p ${\displaystyle (1\leqslant p<+\infty )}$, aussi appelé théorème de Fejér-Lebesgue :

  Si f appartient à l’espace L^p, alors la série de fonctions ${\displaystyle \sigma _{N}(f)}$ converge vers la fonction f au sens de la norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$, avec en outre, pour tout N,

  ${\displaystyle \|\sigma _{N}(f)\|_{p}\leqslant \|f\|_{p}}$.

De très nombreux résultats concernant les séries de Fourier peuvent être obtenus comme conséquences du théorème de Fejér. Dans les propositions suivantes, toutes les fonctions considérées sont 2π-périodiques.

• L'application qui à une fonction intégrable associe ses coefficients de Fourier est injective.

L'injectivité est à comprendre dans l'espace L¹, c'est-à-dire que deux fonctions ayant mêmes coefficients de Fourier sont égales presque partout. Dans le cas de deux fonctions continues, elles sont même égales comment le prouver ?.

• Le théorème de Fejér uniforme constitue une des preuves possibles du théorème de Weierstrass trigonométrique : si f est une fonction continue, il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f. De même le théorème de Fejér-Lebesgue apporte la preuve de la densité de l'espace des polynômes trigonométriques dans les différents espaces L^p.
• Si f est continue et si sa série de Fourier converge en un point x, alors elle converge nécessairement vers f (x).

Ceci est à comparer au comportement de la série de Taylor d'une fonction, qui peut très bien, elle, converger vers une autre valeur que la valeur de la fonction.

• On peut utiliser le théorème de Fejér pour démontrer une version uniforme du théorème de Jordan-Dirichlet : si f est continue et à variation bornée, la série de Fourier de f converge uniformément vers f.