Autocovariance

La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique $X=\{X_{t},t\in \mathbb {N} \}$ permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus[1].

Définition — Si le processus $X$ est à valeurs dans $\mathbb {R}$ et admet une variance $\operatorname {V} (X_{t})$ pour n'importe quel $t\in \mathbb {N}$ , on définit la fonction d'autocovariance de $X$ par la fonction notée $R$ qui à tout couple d'entiers naturels $(t,s)$ associe le nombre noté $R(t,s)$ et défini par $R(t,s)\equiv \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {E} \left[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})\right]$ , où $\mu _{t}=\operatorname {E} (X_{t})$

Si $X$ est un processus stationnaire au sens faible alors $\mu _{t}=\mu _{s}$ et $\operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{t+k},X_{s+k})$ pour n'importe quels entiers naturels $t,s,k$ . Dans ce cas $R(t,s)=R(|t-s|,0)$ et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout $k\in \mathbb {Z}$ associe $\gamma (k)\equiv R(k,0)=\operatorname {Cov} (X_{k},X_{0})$ . La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle $\gamma (k)$ l'autocovariance d'ordre $k$ [2].

Propriété — Si $X$ est stationnaire au sens faible, $\gamma (-k)=\gamma (k)$

Cette propriété résulte directement du fait que

\gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)

. Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Notes

On utilise aussi pour cela la fonction d'Autocorrélation
Voir par exemple Hamilton (1994) et Maddala et Kim (1998)

Références

(en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, 2005, 5^e éd., 943 p. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2

(en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, 1994, 799 p. (ISBN 978-0-691-04289-3, LCCN 93004958), p. 799

(en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 5^e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, LCCN 98017325), p. 505

Voir aussi

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