Théorie du potentiel

Elle concerne l'étude de l'opérateur laplacien et notamment des fonctions harmoniques et sous-harmoniques. Dans le plan complexe par exemple, cette théorie commence par l'étude de la fonction potentiel et de son énergie définies de la manière suivante :

Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure de Borel finie à support compact dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Le potentiel associé est défini sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ par

${\displaystyle p_{\mu }(z)=\int \log |z-w|\;\mathrm {d} \mu (w)=\mu \star \log .}$

L'énergie ${\displaystyle I(\mu )}$ de ${\displaystyle \mu }$ est définie comme étant la somme des potentiels:

${\displaystyle I(\mu )=\iint \log |z-w|\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z).}$

Le potentiel est un exemple simple de fonction sous harmonique. Un théorème de représentation de Riesz nous dit que sous certaines conditions très simples, les fonctions sous harmoniques sont les fonctions potentielles, modulo l'ensemble des fonctions harmoniques. Cette remarque donne donc tout son intérêt à l'étude des fonctions potentielles.

La capacité est une fonction agissant sur les ensembles. Elle est à la théorie du potentiel, ce que la mesure est à la théorie de la mesure. Elle permet en quelque sorte de mesurer la taille d'un ensemble, au sens de la théorie du potentiel. Elle apparaît naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment en théorie de l'approximation ou en analyse complexe.

Si ${\displaystyle E}$ est un sous ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, sa capacité est définie comme étant ${\displaystyle \sup _{\mu }\mathrm {e} ^{I(\mu )}}$, le sup étant pris sur toutes les mesures de probabilité de Borel. La capacité peut également se définir comme étant le diamètre transfini ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{z_{1},\dots ,z_{n}\in E}\prod _{i\neq j}|z_{i}-z_{j}|^{\frac {1}{n(n-1)}}}$. Par analogie avec l'électrostatique en deux dimensions, dans la première définition, on peut voir ${\displaystyle \mu }$ comme une densité de charge positive, alors ${\displaystyle -I(\mu )}$ s'assimile à l'énergie potentielle et la capacité est à une exponentielle près l'énergie minimale. De même dans la seconde définition, on peut associer les ${\displaystyle z_{i}}$ à des charges positives ponctuelles. Le diamètre transfini est alors la limite quand ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ du minimum de l'énergie potentielle pour n charges composé par ${\displaystyle x\rightarrow e^{-x}}$[1].

On peut modifier légèrement la définition du potentiel, en remplaçant la distance euclidienne ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$ par la pseudo-distance hyperbolique, dans le cas où ${\displaystyle E}$ est un sous ensemble du disque unité, ou par la distance sphérique, dans le cas où ${\displaystyle E}$ est un sous ensemble de la sphère de Riemann. Cela fournira alors de nouvelles capacités, respectivement la capacité hyperbolique et la capacité sphérique ou elliptique de E.

Un ensemble ${\displaystyle E}$ est dit polaire s'il est de capacité nulle. On peut montrer qu'un sous ensemble du disque unité est polaire si et seulement s'il est polaire relativement aux capacités hyperbolique et elliptique.

Un ensemble polaire est nécessairement de mesure de Lebesgue nulle. Les ensembles polaires et ${\displaystyle F_{\sigma }}$ sont totalement discontinus. On peut voir que la réciproque à ces deux assertions est fausse. L'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu et de mesure nulle, mais n'est pas de capacité nulle.

La capacité est relativement difficile à manipuler et à étudier, du fait qu'elle n'est ni additive, ni sous ou sur additive.

• Opérateur laplacien
• Équation de Laplace
• Équation de Poisson
• Fonction de Green
• Paul-André Meyer
• Théorème de Tsuji

• Paul Appell, Lecons sur l'attraction et la fonction potentielle, professées a la Sorbonne en 1890-1891, Georges Carré, Paris, 1892. Disponible en ligne : Cornell Library Historical Mathematics Monographs.
• Henri Poincaré, Théorie du potentiel Newtonien - Leçons professées à la Sorbonne pendant le premier semestre 1894-1895, Gauthiers-Villars, Paris, 1899. Disponible en ligne : Cornell Library Historical Mathematics Monographs.
• B.O. Pierce, Elements of the theory of the Newtonian potential function, Ginn & Co., Boston, 1902. Disponible en ligne : Cornell Library Historical Mathematics Monographs.
• Thomas Ransford, Potential theory in the complex plane, Cambridge university press

• Masatsugu TSUJI, Fundamental theorems in potential theory, Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 4, No. 1, July, 1952. Disponible en ligne : Article.