Espace totalement discontinu

Un espace topologique X est totalement discontinu si la composante connexe de tout point x de X est le singleton { x }.

Les espaces suivants sont totalement discontinus :

• tous les espaces totalement séparés (c'est-à-dire dans lesquels deux points distincts peuvent toujours être séparés par un ouvert-fermé)[1], en particulier
  • tous les espaces T₀ de dimension zéro (donc réguliers), comme :
    • les espaces discrets ;
    • les parties non vides de R d'intérieur vide ;
    • l'anneau Z_p des entiers p-adiques, ou plus généralement, tout groupe profini ;
    • la droite de Sorgenfrey (cet espace, contrairement aux précédents, n'est pas localement compact).
  • les deux espaces suivants (totalement séparés mais pas de dimension zéro) :
    • l'espace d'Erdős[2] des suites de carré sommable de rationnels[3] et ses généralisations[4] (dont la dimension est 1) ;
    • le treillis de Roy privé de son sommet[5].
• le tipi de Cantor privé de son sommet (totalement discontinu mais pas totalement séparé).

• Les sous-espaces, espaces produits et coproduits d'espaces totalement discontinus sont totalement discontinus.
• Un espace totalement discontinu est toujours T₁[1], puisque ses singletons sont fermés.
• Une image continue d'un espace totalement discontinu n'est pas nécessairement totalement discontinue (par exemple : tout compact métrisable est une image continue de l'espace de Cantor).
• Un espace localement compact est totalement discontinu si et seulement s'il est de dimension zéro.
• Un espace compact est totalement discontinu si et seulement s'il est totalement séparé, et si et seulement s'il est l'espace de Stone S(B) d'une algèbre de Boole B (les points de S(B) sont les ultrafiltres sur B ne contenant pas 0, et une base d'ouverts est constituée des { x∈S(B) | b∈x }, pour b élément de B) ; S(B) est extrêmement discontinu (en) (c'est-à-dire[1] que l'adhérence de tout ouvert est ouverte) si et seulement si B est complète[6] ;
• Tout espace métrisable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace d'un produit dénombrable d'espaces discrets.
• Pour tout espace topologique X, l'espace des composantes connexes de X est « le plus gros » quotient de X totalement discontinu, au sens où il est initial parmi de tels quotients.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Totally disconnected space » (voir la liste des auteurs).
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2012 (1^re éd. 1970), 384 p. (ISBN 978-0-486-13178-8, lire en ligne)

Groupe totalement discontinu