Point régulier

Si f est une fonction de l'intervalle I dans l'espace E, de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$, on dit que le point de paramètre t est régulier quand le vecteur dérivé f'(t) est non nul. Il dirige alors la tangente en ce point.

Dans le cas particulier d'un graphe de fonction numérique de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$, la condition de régularité est toujours vérifiée.

Dans le cas particulier d'une courbe paramétrée par l'angle polaire ${\displaystyle \rho =f(\theta )}$, le vecteur dérivé est donné par ${\displaystyle \rho 'u+\rho v}$ dans le repère mobile. Tous les points autres que l'origine sont donc réguliers.

Soit la courbe du plan d'équation cartésienne f(x,y)=C et un point M(x,y) appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

Si f est une fonction de U dans l'espace E, de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$, on dit que le point de paramètre (t,u) est régulier quand les vecteurs dérivés ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}}}$ sont indépendants. Ils engendrent alors le plan tangent en ce point.

Soit la surface d'équation cartésienne f(x,y,z)=C et un point M(x,y,z) appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, le plan tangent est orthogonal au vecteur gradient.