Chaînette

Caténaire, formée d'un câble porteur et d'un câble linéaire inférieur, reliés par des pendules : la chaînette virtuelle se situe entre les deux câbles.

Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé de nombreux mathématiciens.

En 1638 Galilée écrit : « On plante sur un mur à une certaine hauteur deux clous, également distants de l'horizon... ; à ces deux clous on suspend une fine chaînette... ; cette chaînette prend en se pliant une forme de parabole, si bien que si nous marquons sur le mur en pointillé son cheminement, nous obtiendrons le dessin d'une parabole entière [Note 1] . »

La preuve du fait que la chaînette ne prend pas une forme de parabole fut apportée en 1627 par Joachim Jung dans sa Geometrica Empirica[Note 2] et en 1646 par Huygens[1].

En 1691, Leibniz[Note 3], Jean Bernoulli et Huygens, sous l’impulsion d’un défi lancé par Jacques Bernoulli[Note 4], démontrent quasi simultanément que la forme exacte est une courbe transcendante en déterminant ses équations.

Délaissant le vocable latin du problema funicularium (problème relatif à la corde), utilisé par les Bernoulli, Huygens utilise dans une lettre[2] adressée à Leibniz le mot catenaria, courbe relative à la chaîne (catena), puis passe au français chaînette, renouant ainsi avec le terme catenella utilisé par Galilée (alors que les mathématiciens anglophones conserveront la désignation de Huygens pour la nommer catenary, le même mot anglais étant traduit en français par caténaire avec la même origine latine, mot utilisé aussi en français pour certaines constructions autoportées en forme de chaînette).

Certains auteurs francophones lui donnent donc aussi le nom de caténaire, bien que la caténaire désigne plus usuellement en français l’association d’un câble autoporté associé dans le même plan vertical, dans la partie inférieure, à un second câble ayant vocation à être, dans le mesure du possible, quasiment linéaire, les deux câbles étant en général soumis à une force de traction longitudinale, et reliés verticalement entre eux par une série de raccordements pendulaires. Ce système de portage déforme le câble supérieur porteur, et lui donne en fait une forme plus proche d'une parabole, la chaînette n'étant plus présente que virtuellement, passant entre les deux câbles sur lesquels sont articulés les pendules de longueur variable.

L'intérêt du montage porteur en caténaire est de permettre de donner une forme quasi rectiligne au câble inférieur. Cela permet par exemple d'améliorer le contact et d'équilibrer (et même réduire) globalement les forces de frottement dans les systèmes d'alimentation électrique ferroviaire (en évitant autant que possible les ruptures causées par des chocs répétés et des étincelles contre le câble d'alimentation), et permet aussi de limiter la longueur totale du câble inférieur, ce qui réduit sa résistance électrique totale (donc les pertes d'énergie en ligne au sein de ce câble) pour les caténaires de transport d'énergie à longue distance, sans avoir à augmenter de façon très importante la tension des câbles (ce qui les fragilise progressivement au cours du temps, par l'effet des élongations inélastiques imposées).

En effet, et c'est là une propriété remarquable, la forme de chaînette est celle qui permet de minimiser sa tension longitudinale : en augmentant la flèche de courbure (l’écartement maximum du câble par rapport à la ligne droite joignant les points d'attachement), donc aussi la longueur totale du câble entre les deux points fixes d’attachement, on réduit sensiblement cette tension longitudinale, et donc aussi les élongations inélastiques et les risques d'une rupture précoce du câble.

Cette propriété de la chaînette est utilisée dans les câbles porteurs d'un téléphérique (ou d'autres systèmes de portage similaires comme le télésiège) qui adoptent la forme d'une chaînette entre les points d'attachement aux pylônes fixes, ou entre le point de charge d’une nacelle et chacun des points d'attachement aux pylônes précédent et suivant ; la seule contrainte supplémentaire exercée sur le câble est alors la flexion exercée aux points d’intersection des arcs de chaînettes successifs (aux pylônes ou au-dessus d’une nacelle), une flexion dont on peut réduire l'effet inélastique indésirable en remplaçant ce point par un arc solide de soutien (par exemple le réa circulaire d’une poulie), d'une longueur suffisante pour distribuer et limiter la courbure de flexion exercée localement sur le câble. Ainsi il suffit d’un nombre très réduit de pylônes fixes pour porter le câble et franchir des distances très importantes entre deux pylônes, avec une seule chaînette entre eux, tout en conservant une tension de câble réduite qui en augmente la résistance et la charge utile de transport.

La chaînette des lignes à haute tension varie en fonction de la quantité d'énergie transportée et des conditions météorologiques. Le courant permanent admissible désigne le courant maximum pouvant être transporté à un moment donné sans que le câble ne se rapproche trop du sol (en raison de la dilatation thermique due à l'effet Joule).

Chaînettes avec différentes valeurs de a.

L’équation cartésienne de la forme de la chaînette est :

${\displaystyle y(x)=a\cdot \cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\cdot \left(\mathrm {e} ^{x \over a}+\mathrm {e} ^{-{x \over a}}\right)}$,

dans laquelle cosh désigne le cosinus hyperbolique.

Le paramètre a = T_H/w est le rapport de la composante horizontale T_H de la tension T au poids linéique w, poids par unité de longueur.

Cette équation dépend d’un seul paramètre a (une constante, qui a la dimension d’une longueur dans son interprétation physique). Une courbe d’équation :

${\displaystyle y(x)=b\cdot \cosh \left({x \over a}\right)}$

n’est généralement pas une chaînette au sens strict. Cependant, la forme de la courbe ne varie pas à une constante additive près (déterminant sa hauteur de portée), et la courbe suivante sera considérée aussi comme une chaînette généralisée :

${\displaystyle y(x)=a\cdot \cosh \left({x \over a}\right)+c}$

On peut également la voir sous la forme d’une équation paramétrique :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)&=&a\cdot \ln \left(t\right)\\y(t)&=&{a \over 2}\left(t+{1 \over t}\right)+c\\t>0&&\end{matrix}}\right.}$

Il peut être commode de prendre pour paramètre la tension qui croît avec l'altitude du point. Dans ces conditions, par rapport à des axes quelconques :

${\displaystyle |x-x_{0}|={\frac {T_{H}}{w}}\operatorname {arcosh} {\frac {T}{T_{H}}}\qquad \qquad \qquad y-y_{0}={\frac {T}{w}}\qquad \qquad \qquad y(x_{0})=y_{0}+{\frac {T_{H}}{w}}}$

• La solution du problème est simple si l'on se donne les caractéristiques de la ligne (longueur et poids linéaire) et les deux composantes de la force appliquée à une extrémité pour calculer son extension (distances horizontale et verticale entre les supports). Les formules correspondantes définissent le module de base de tout calcul.
• Si l'élasticité de la ligne ne peut plus être négligée, elle est prise en compte en appliquant la loi de Hooke, ce qui entraîne simplement une complication du calcul de l'extension dans le module de base.
• Si les lignes sont constituées par une succession de segments de caractéristiques différentes, l'appel répété du module de base permet d'obtenir pour la ligne un résultat analogue à celui du segment en transmettant les forces d'un segment à un autre et en totalisant les extensions.
• S'il existe un fond sur lequel repose une partie de la ligne, la force verticale appliquée à une extrémité permet de déterminer la longueur suspendue non déformée à ajouter à la longueur posée sur le fond.
• Dans tous ces cas, il est donc possible d'obtenir pour la ligne un module qui transforme les caractéristiques de la ligne et la force à une extrémité en l'extension et la force à l'autre extrémité. Malheureusement, ces calculs relativement simples ne sont pas adaptés aux problèmes concrets dans lesquels on souhaite généralement calculer les forces aux deux extrémités en fonction des caractéristiques et de l'extension. Deux boucles de dichotomie, inconditionnellement convergentes, résolvent le problème.

• L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe. Pour l'axe des abscisses, on parle de base.
• La chaînette est un cas particulier d'alysoïde[4] et de courbe de Ribaucour[5].

Chaînette / chaînette renversée.

L'application de la courbe de la chaînette à la construction d'arches est attribuée au physicien anglais Robert Hooke, dans le contexte de la reconstruction de la Cathédrale Saint-Paul de Londres, où il a fait allusion à une caténaire (« catenary curve »), mais il n'en réalisa qu'une « approximation »[6].

Autour de 1671, Robert Hooke a annoncé à la Royal Society qu'il avait résolu le problème de la forme optimale d'un arc. En 1676, il a publié la solution dans une annexe à son livre Une description des hélioscopes, et divers autres instruments. Il a écrit qu'il avait trouvé « une véritable forme mathématique et mécanique de toutes sortes d'arches pour le bâtiment »[Note 5] - [7], la solution étant cryptée dans une anagramme. Il n'a pas fourni de son vivant, la traduction latine de celle-ci, qui n'a été donnée que par son exécuteur testamentaire, en 1705, deux ans après sa mort : « Ut continuum pendet flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum », ce qui signifie approximativement « De la même façon que pend un fil flexible, s'élève l'arche rigide, mais de manière inversée »[Note 6] - [8]. Robert Hooke avait compris que les matériaux de construction ne peuvent supporter que des forces de compression et pas les efforts de traction, en contraste direct avec une simple corde suspendue qui peut résister à la traction mais qui peut se déformer par compression[9].

• La chaînette n'apparaît pas seulement dans la forme d'une chaîne ou d'un câble suspendu comme :
  • au gratte-ciel Marquette Plaza, à Minneapolis, Minnesota, construit en 1973, par l'architecte américano-letton, Gunnar Birkerts, qui a été le siège régional de la Réserve fédérale des États-Unis, de 1973 à 1997. La structure caténaire a permis de supporter le bâtiment, et à l'origine, de dégager au rez-de-chaussée une esplanade de 82 mètres de portée[10] - [11], qui a été aménagée depuis.
  • au gratte-ciel Kingdom Centre, construit par Ellerbe Becket (en) et Omrania and Associates (en), à Riyad, Arabie saoudite, terminé en 2012[12].

• La chaînette
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  Marquette Plaza à Minneapolis.
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  Vue sur Riyad et la tour du Kingdom Centre.

• On la trouve aussi sous deux formes :
  • la chaînette verticale, dans le profil d’une voile rectangulaire attachée à deux barres horizontales, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent. C'est cette propriété qui justifie le nom de « vélaire » (voile) donné par Jacques Bernoulli ;
  • la chaînette renversée, pour un arc dont la stabilité est assurée par son propre poids (structure autoportante). Relèvent de cette technique[13] :
    • la courbe tracée sur l'ostracon, (3^e dynastie), trouvé à Saqqarah, en Égypte, en 1925, est très proche de la chaînette[14]. Elle a été analysée par l'égyptologue anglais Battiscombe George Gunn en 1926, dans un article publié dans le volume 26 des Annales du Service des Antiquités de l'Égypte, Institut de France, archéologie orientale,
    • la voûte nubienne,
    • l’arc de Ctésiphon du palais de Taq-e Kisra, près de Bagdad en Irak, construit en 540,
    • le dôme de la cathédrale Santa Maria del Fiore à Florence, d'un poids de 37 000 tonnes, dôme en briques construit par l'architecte italien Filippo Brunelleschi de 1420 à 1436 (dôme le plus grand du monde avec 45 mètres de diamètre),
    • la coupole intermédiaire du dôme du Panthéon de Paris, dôme d'un poids total de 17 000 tonnes, conçu par l'architecte Jacques-Germain Soufflot. Construction débutée en 1758, puis reprise par Soufflot en 1764, interrompue par sa mort en 1780, et terminée par ses successeurs Jean-Baptiste Rondelet et Maximilien Brébion, pour une inauguration en 1790,
    • les essais architecturaux d'Antoni Gaudí, connus aussi sous le nom d’« arcs caténaires » (« arcos catenarios »), et particulièrement à Barcelone, à la Casa Milà, construite entre 1906 et 1910[15], ou dès 1882, à la Sagrada Família[16],
    • la Masia Freixa (es), à Terrassa, Espagne, ancienne fabrique construite en 1896, puis remaniée en résidence familiale, entre 1907 et 1914, par l'architecte moderniste catalan, Lluís Muncunill i Parellada (es). On y retrouve particulièrement l'influence d'Antoni Gaudí, dans l'utilisation des « arcs caténaires »,
    • le hangar à dirigeables d'Écausseville, construit entre 1917 et 1919, par l'ingénieur Henry Lossier, appliquant le Système Hennebique, procédé de construction en béton armé de l'ingénieur François Hennebique,
    • l'arche (Gateway Arch) du Jefferson National Expansion Memorial, construite par l'architecte finno-américain Eero Saarinen à Saint Louis, entre 1963 et 1965. Le mathématicien américain Robert Osserman qualifie l'arche de « chaînette aplatie » (« nosed catenary »)[17] ou de chaînette lestée (en) car l'architecte, n'étant pas satisfait de l'esthétisme de la courbure au sommet, a modifié les constantes de l'équation[18], pour atteindre cette forme au sommet, sur la suggestion de l'ingénieur structurel germano-américain, Hannskarl Bandel,
    • le Gateshead Millennium Bridge, pont mobile rotatif, piétonnier et cyclable, situé à Gateshead (Angleterre), au-dessus du fleuve Tyne construit entre 1998 et 2001.
    • le Sheffield Winter Garden (en), la plus grande serre urbaine d'Europe, construite à Sheffield, par le cabinet d'ingéniérie Buro Happold, et inaugurée par la reine Élisabeth II, le 22 mai 2003 ;
    • l'Arche de Tchernobyl, une nouvelle enceinte de confinement de la radioactivité, recouvrant le premier sarcophage fissuré[19]. Le projet a été décidé en 1992, par l'Ukraine, et signé le 17 septembre 2007, avec le consortium français Novarka, le pilote du projet[20]. L'arche pesait 36 000 tonnes à l'été 2016, et a été inaugurée le 29 novembre 2016,
    • la Catène de Containers, en mai 2017, œuvre monumentale[21] de l'artiste plasticien Vincent Ganivet, pour fêter les 500 ans du port du Havre[22].

• La chaînette renversée
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  Voûte nubienne, en Égypte.
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  L’arc de Ctésiphon du palais de Taq-e Kisra à Bagdad, Irak.
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  Le dôme de la cathédrale Santa Maria del Fiore à Florence.
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  Le dôme du Panthéon de Paris.
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  arcs caténaires de la Casa Milà à Barcelone.
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  arcs caténaires de la Masia Freixa, à Terrassa, Espagne.

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  Le hangar à dirigeables d'Écausseville.
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  La Gateway Arch à Saint-Louis.
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  Gateshead Millennium Bridge, pont piétonnier rotatif à Gateshead.
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  Le Sheffield Winter Garden à Sheffield.
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  Arche de confinement, en construction à Tchernobyl.
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  Catène de containers, au port du Havre.

Dôme de la basilique Saint-Pierre de Rome.

• Le dôme de la basilique Saint-Pierre de Rome, (basilique construite entre 1506 et 1626), conçu par Michel-Ange, ne relève pas de ce modèle de construction. Le physicien Giovanni Poleni sera mandaté par le pape Benoît XIV en 1743, pour la vérification statique de l'équilibre, à la suite de l'apparition de fissures dans la coupole dès 1741. Il constatera que Michel-Ange, puis son successeur Giacomo della Porta, se sont éloignés de cette courbe idéale. S'appuyant aussi sur les travaux du mathématicien écossais James Stirling (1717), et de la validation scientifique de la courbe de la chaînette[23], Giovanni Poleni proposera au pape, à l'été 1743, de renforcer la coupole par sécurité, par cinq anneaux métalliques, qui seront posés de 1743 à 1748, (plus un sixième anneau, posé en remplacement d'un des trois anneaux d'origine, inclus dans la maçonnerie, qui est apparu cassé). Ces six anneaux la ceinturent encore aujourd’hui[24] - [25].

Dôme de la Cathédrale Saint-Paul de Londres.

• La coupole intermédiaire du dôme de la Cathédrale Saint-Paul de Londres, et contrairement à une croyance populaire très répandue, ne relève pas de ce modèle de construction. Ce dôme d'un poids total de 65 000 tonnes, a été construit par l'architecte Christopher Wren avec la collaboration de Robert Hooke. L'étude a débuté en 1669, pour une inauguration en 1708. Bien que les deux architectes aient eu connaissance des propriétés remarquables de la « courbe caténaire » (« catenary curve »), ils étaient incapables à l'époque, d'en trouver une formulation mathématique exacte (qui n'est venue qu'en 1691 avec Bernoulli, Leibniz et Huygens). On retrouve dans l'esquisse pour la construction du dôme, datant de 1690[Note 7], une « approximation » de la courbe de la chaînette renversée : cette courbe est une parabole cubique (voir la figure 2 du document en référence, et les trois courbes superposées). Le dôme est formé par le conoïde décrit par la rotation de la demi-parabole cubique y = x³, sur l'axe des ordonnées[6].