Roulette (courbe)

Si, à la place d’un seul point fixé à la courbe mobile, c'est une autre courbe qui est entraînée le long du plan mobile, une famille de courbes congruentes est produite. L'enveloppe de cette famille peut aussi être appelée roulette. Les roulettes dans des espaces de dimension supérieure peuvent être imaginées mais il faut aligner plus que des tangentes.

Si la courbe fixe est une chaînette et la courbe roulante une droite,

${\displaystyle f(t)=t+{\rm {i}}(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+{\rm {i}}\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

La paramétrisation de la droite est choisie de telle sorte que :

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle =|r'(t)|.}$

En appliquant la formule précédente, on obtient :

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-{\rm {i}}+{p-\sinh(t)+{\rm {i}}(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-{\rm {i}}+(p+{\rm {i}}){1+{\rm {i}}\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Si p = −i, l'expression a une partie imaginaire constante −i et la roulette est une droite horizontale. Une application intéressante de ceci est qu'une roue carrée (en) peut rouler sans cahotement sur une route formée par une succession d'arcs de chaînettes.