Hypotrochoïde

On pose ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ (donc ${\displaystyle q>1}$) et ${\displaystyle d=kb}$, avec a le rayon du cercle fixe, b celui du cercle roulant (mobile) et d la distance du point au centre du cercle mobile. Un paramétrage (donné en affixe) de l'hypotrochoïde est alors :

${\displaystyle z=(a-b)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}+d\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (q-1)t}}$

soit

${\displaystyle q(z)=a((q-1)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}+k\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (q-1)t})}$

${\displaystyle q(x+\mathrm {i} y)=a(q-1)\cos(t)+\mathrm {i} a(q-1)\sin(t)+ak\cos((q-1)t)-\mathrm {i} ak\sin((q-1)t)}$

Par identification des parties réelle et imaginaire, on obtient :

${\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos((q-1)t));}$

${\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin((q-1)t));}$

avec ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ et ${\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}}$.

Si on pose ${\displaystyle a=R}$, ${\displaystyle b=r}$ et ${\displaystyle t=\theta }$, on obtient les formules ci-dessous:

${\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}$

où θ est l'angle formé par l'horizontale et le centre du cercle roulant (ce ne sont pas des des équations polaires, car θ n'est pas l'angle polaire). En radian, les valeurs de θ varient de 0 à ${\displaystyle 2\pi {PPCM(r,R) \over R}}$ où PPCM est le plus petit commun multiple.

Les hypocycloïdes représentent le cas particulier ${\displaystyle d=r}$ (le point fixe est sur le cercle) et les ellipses le cas ${\displaystyle R=2r}$ (voir le théorème de La Hire).

• Épitrochoïde
• Hypocycloïde
• Spirographe