Courbe du chien

Il s’agit d’établir l'équation de la trajectoire que parcourt un chien lorsque son maître, éloigné, l'appelle tout en se déplaçant sur une droite perpendiculairement au segment de droite les séparant à l’instant origine. On conviendra qu'à cet instant, le maître est à une distance ${\displaystyle a}$ du chien ; il se déplace de façon uniforme à la vitesse ${\displaystyle v}$. Le chien accourt à une vitesse ${\displaystyle kv}$ et de façon à être, à tout moment, dirigé vers son maître. On peut donc choisir un repère orthonormé, tel que le chien soit au point O de coordonnées (0,0) et le maître au point A de coordonnées (a,0) au départ, la droite décrite par le maître étant celle d’équation ${\displaystyle x=a}$. On désigne par ${\displaystyle (x,y)}$ les coordonnées du chien au bout du temps ${\displaystyle t}$.

Le schéma décrit la situation au moment où le chien est arrivé au point C en suivant la courbe (en noir) depuis l’origine.

Au bout du temps ${\displaystyle t}$, le maître est en ${\displaystyle M}$, tel que ${\displaystyle AM=vt}$.

Si on note ${\displaystyle l}$ l'arc de trajectoire ${\displaystyle OC}$ parcouru par le chien à la vitesse ${\displaystyle kv}$, alors la pente au point ${\displaystyle C}$ vaut :

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=\tan(\alpha )={\frac {BM}{BC}}\,}$

soit :

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {vt-y}{a-x}}\,}$

D'autre part, au temps ${\displaystyle t}$, le chien a parcouru une longueur ${\displaystyle l=kvt}$, ce qui donne :

${\displaystyle (a-x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+y={\frac {l}{k}}\,}$

avec ${\displaystyle x\leqslant a.}$

En dérivant par rapport à ${\displaystyle x}$, on obtient :

${\displaystyle \left[(a-x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}\right]'=-{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+(a-x){\frac {{\mathrm {d} ^{2}}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}\,}$

Soit :

${\displaystyle -{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+(a-x){\frac {{\mathrm {d} ^{2}}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {1}{k}}{\frac {{\mathrm {d} }l}{{\mathrm {d} }x}}\,}$

ou encore ${\displaystyle (a-x){\frac {{\mathrm {d} ^{2}}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}={\frac {1}{k}}{\frac {{\mathrm {d} }l}{{\mathrm {d} }x}}\,}$

En utilisant le fait que ${\displaystyle {\mathrm {d} }l^{2}={\mathrm {d} }x^{2}+{\mathrm {d} }y^{2}}$, et en posant ${\displaystyle y'={\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}}$, on obtient finalement l'équation suivante[4] :

${\displaystyle (a-x){\frac {{\mathrm {d} }y'}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {1}{k}}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,}$

La théorie des équations différentielles peut alors être mise en œuvre pour obtenir la trajectoire.

Détails des calculs

À partir de l'équation :

${\displaystyle (a-x){\frac {{\mathrm {d} }y'}{{\mathrm {d} }x}}={\frac {1}{k}}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,}$

on peut séparer les variables, d’où l’équation différentielle du second ordre :

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{k}}{\frac {{\mathrm {d} }x}{a-x}}\,}$

En intégrant on obtient :

${\displaystyle \ln \left(y'+{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)=-{\frac {1}{k}}\ln(a-x)+C\,}$

À l'instant ${\displaystyle t=0}$, le chien est au point O et sa trajectoire est tangente à la droite des abscisses, donc ${\displaystyle y'=0}$ et ${\displaystyle x=0}$, ce qui donne pour la constante :

${\displaystyle C={\frac {1}{k}}\ln(a)\,}$

Il vient alors :

${\displaystyle \ln \left(y'+{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)=-{\frac {1}{k}}\ln(a-x)+{\frac {1}{k}}\ln(a)=\ln \left({\sqrt[{k}]{\frac {a}{a-x}}}\right)\,}$

ou encore :

${\displaystyle y'+{\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt[{k}]{\frac {a}{a-x}}}.}$

De l'équation aux logarithmes ci-dessus, on déduit aussi l’égalité des inverses, et donc :

${\displaystyle y'-{\sqrt {1+y'^{2}}}=-{\sqrt[{k}]{\frac {a-x}{a}}}\,}$

puis, en faisant la somme des deux dernières équations il vient :

${\displaystyle y'-{\sqrt {1+y'^{2}}}+y'+{\sqrt {1+y'^{2}}}=-{\sqrt[{k}]{\frac {a-x}{a}}}+{\sqrt[{k}]{\frac {a}{a-x}}}\,}$

L'équation donnant ${\displaystyle y'}$ est alors :

${\displaystyle y'={\frac {1}{2}}(-{\sqrt[{k}]{\frac {a-x}{a}}}+{\sqrt[{k}]{\frac {a}{a-x}}})\,}$

On peut alors intégrer :

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\int {-{\sqrt[{k}]{\frac {a-x}{a}}}}{\mathrm {d} }x+\int {\sqrt[{k}]{\frac {a}{a-x}}}{\mathrm {d} }x\right).}$

Si ${\displaystyle k}$ est différent de 1, on obtient, en utilisant le fait qu’une primitive de ${\displaystyle x^{N}}$ est ${\displaystyle {\frac {x^{N+1}}{N+1}}}$,

${\displaystyle y={\frac {k(a-x)}{2}}\left({\frac {1}{k+1}}\left({\frac {a-x}{a}}\right)^{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{1-k}}\left({\frac {a-x}{a}}\right)^{-{\frac {1}{k}}}\right)+D\,}$

Pour x = 0 ; y = 0 on a ${\displaystyle D={\frac {ka}{k^{2}-1}}\,}$,

L'équation de la trajectoire du chien est donc, pour ${\displaystyle k}$ différent de 1 :

${\displaystyle y={\frac {k(a-x)}{2}}({\frac {1}{k+1}}({\frac {a-x}{a}})^{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{1-k}}({\frac {a-x}{a}})^{-{\frac {1}{k}}})+{\frac {ka}{k^{2}-1}}\,}$.

Si ${\displaystyle k=1}$, l’intégration de ${\displaystyle y'={\frac {1}{2}}(-{\frac {a-x}{a}}+{\frac {a}{a-x}})}$ donne ${\displaystyle y={\frac {(a-x)^{2}}{4a}}-{\frac {a}{2}}\ln(a-x)+D,}$

et on détermine comme auparavant la constante D à partir de la valeur initiale ${\displaystyle x=0,y=0}$, qui fournit : ${\displaystyle D={\frac {a}{2}}\ln a-{\frac {a}{4}}}$

soit finalement :

${\displaystyle y={\frac {(a-x)^{2}}{4a}}-{\frac {a}{2}}\ln(a-x)+{\frac {a}{2}}\ln a-{\frac {a}{4}},}$

ou encore :

${\displaystyle y={\frac {x^{2}-2ax}{4a}}+{\frac {a}{2}}\ln {\frac {a}{a-x}}.}$

On obtient finalement l'équation de la trajectoire du chien, si k est différent de 1 :

${\displaystyle y={\frac {k(a-x)}{2}}\left({\frac {1}{k+1}}\left({\frac {a-x}{a}}\right)^{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{1-k}}\left({\frac {a-x}{a}}\right)^{-{\frac {1}{k}}}\right)+{\frac {ka}{k^{2}-1}}\,}$.

et si k=1,

${\displaystyle y={\frac {x^{2}-2ax}{4a}}+{\frac {a}{2}}\ln {\frac {a}{a-x}}}$.

Le chien rattrape son maître lorsque x = a, donc pour ${\displaystyle y={\frac {ka}{k^{2}-1}}\,}$, à condition que cette valeur de ${\displaystyle y}$ soit positive, donc si et seulement si ${\displaystyle k>1}$ (c’est-à-dire si le chien va plus vite que le maître). Il le rattrape alors au temps ${\displaystyle t={\frac {ka}{(k^{2}-1)v}}.}$

Lorsque k=1, c’est-à-dire si le maître et le chien ont même vitesse, le chien ne rattrape pas le maître, la droite verticale de fuite est asymptote à la trajectoire du chien, qui est une tractrice.

Si ${\displaystyle k}$ n’est pas un nombre rationnel, ou si ${\displaystyle k=1}$, la courbe de poursuite est une courbe transcendante. Lorsque ${\displaystyle k}$ est un nombre rationnel différent de 1, la courbe de poursuite est unicursale[5]. Une paramétrisation est donnée par exemple en posant :

${\displaystyle x=a-t^{m},\qquad y={\frac {m}{2}}t^{m}\left({\frac {1}{m+n}}{\frac {t^{n}}{\sqrt[{k}]{a}}}+{\frac {1}{n-m}}{\frac {\sqrt[{k}]{a}}{t^{n}}}\right)+{\frac {ka}{k^{2}-1}},}$

où ${\displaystyle k={\frac {m}{n}}}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ étant deux entiers premiers entre eux.

Il s’agit d’établir l'équation de la trajectoire de poursuite que parcourt un chien lorsque son maître, éloigné, l'appelle tout en se déplaçant sur une trajectoire circulaire. On conviendra que le maître se déplace de façon uniforme à la vitesse « v » et dans le sens trigonométrique. Le chien accourt à une vitesse « kv » et de façon à être, à tout moment, dirigé vers son maître. Au bout du temps « t » on convient que le maître s’est déplacé de « Mo » à « M' », c'est-à-dire d’un angle « ω = vt/r »

Une méthode consiste en une résolution graphique du problème. Le présent article est rédigé à partir du document du « College of Redwoods »[6]. En raisonnant sur la représentation schématique ci-contre on en déduit :

${\displaystyle {\overrightarrow {OC'_{(\omega )}}}+{\overrightarrow {C'M'_{(\omega )}}}={\overrightarrow {OM'_{(\omega )}}}\,}$

Avec, en raisonnant dans le plan complexe :

${\displaystyle OM'_{(\omega )}=x_{m}(\omega )+\mathrm {i} y_{m}(\omega )=r\cos \omega +\mathrm {i} r\sin \omega \,}$

${\displaystyle OC'_{(\omega )}=x_{c}(\omega )+\mathrm {i} y_{c}(\omega )\,}$

Et donc :

${\displaystyle C'M'_{(\omega )}={\overrightarrow {OM'_{(\omega )}}}-{\overrightarrow {OC'_{(\omega )}}}=r\cos \omega -x_{c}(\omega )+\mathrm {i} r\sin \omega -\mathrm {i} y_{c}(\omega )\,}$

Après développement et en considérant que le maître se déplace à partir du point Mo sur un cercle de rayon unitaire alors :

${\displaystyle x_{m}=\cos \omega \,}$

${\displaystyle y_{m}=\sin \omega \,}$

On obtient les deux relations suivantes :

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }x_{c}}{{\mathrm {d} }\omega }}=k{\frac {\cos \omega -x_{c}}{\sqrt {(\cos \omega -x_{c})^{2}+(\sin \omega -y_{c})^{2}}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y_{c}}{{\mathrm {d} }\omega }}=k{\frac {\sin \omega -y_{c}}{\sqrt {(\cos \omega -x_{c})^{2}+(\sin \omega -y_{c})^{2}}}}\,}$