Courbe de Lamé

Les courbes de Lamé (ou superellipses) sont un groupe de courbes définies pour la première fois par le mathématicien français Gabriel Lamé en 1818[1]. Elles sont définies par leur équation cartésienne :

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1.

Exemples de courbes de Lamé

(n,a,b)=\left({\frac {1}{2}},1,1\right)

(n,a,b)=\left({\frac {3}{2}},1,1\right)

(n,a,b)=\left(4,1,1\right)

Similairement, elles sont définies par l'équation polaire (où les points $(r,\theta )$ qui respectent l'équation) :

$r=\left(\left|{\frac {cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!,$

Propriétés

Les courbes de Lamé peuvent aussi être définies par l'équation paramétrique[2] :

{\begin{cases}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{cases}}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}.

L'aire de la surface délimitée par une courbe de Lamé vaut[3]

${\frac {4^{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}ab{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (1+{\frac {1}{n}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{n}})}},$

où $Γ$ est la fonction Gamma.

Notes et références

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Lamé Curves », sur MacTutor, université de St Andrews.
« Courbe de Lamé », sur mathcurve.
(en) Eric W. Weisstein, « Superellipse », sur MathWorld.

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