Strophoïde

Soit la courbe C donnée par ${\displaystyle r=f(\theta )}$, où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si ${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$ est un point de la courbe, la distance de K à A est

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire ${\displaystyle \theta }$, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$ de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$.

Soit C d'équations paramétriques (x=x(t),y= y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

${\displaystyle x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

où

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles O et A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, ${\displaystyle \theta }$ l'angle entre OK et l'axe Ox, et ${\displaystyle \vartheta }$ l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que ${\displaystyle \vartheta }$ soit donné en fonction de ${\displaystyle \theta }$, sous la forme ${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$. Soit ${\displaystyle \psi }$ l'angle en K, donc${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$. On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$.

Soit P₁ et P₂ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon que${\displaystyle \psi ={\widehat {P_{1}KA}}}$ et ${\displaystyle \pi -\psi ={\widehat {AKP_{2}}}}$. Le triangle ${\displaystyle P_{1}KA}$ est isocèle d'angle au sommet ${\displaystyle \psi }$, donc les angles de la base, ${\displaystyle {\widehat {AP_{1}K}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {KAP_{1}}}}$, valent${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$. L'angle entre AP₁ et l'axe Ox est alors

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$.

Utilisant le fait que AP₁ et AP₂ sont perpendiculaires (car le triangleAP₁P₂ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP₂ et l'axe Ox vaut

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l₁ et l₂ d'après les formules précédentes :

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme ${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$ ; dans ce cas l₁ et l₂ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, ${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$, où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante, et ${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ ; ${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

et

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ ;

une rotation de ${\displaystyle \alpha }$ transforme cette équation en

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

Strophoïde droite.

Posant ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ dans

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$,

on obtient

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$.

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$ ;

une représentation paramétrique unicursale est :

${\displaystyle x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$, données par

${\displaystyle x\pm iy=-a}$.

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$, où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante. Ainsi, ${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ et ${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

et

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$.

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de ${\displaystyle \pi /4}$ avec C en ces points.