Spirale de Fermat

Les deux composantes connexes du plan découpé par la spirale de Fermat

La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexes[3].

Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alors[4]: ${\displaystyle OT={\frac {2\rho ^{3}}{a^{2}}}}$ et ${\displaystyle ON={\frac {a^{2}}{2\rho }}}$ L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a.

L'aire balayée par le rayon OM de M_d à M_f est donnée par la formule[4]: ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\left(\theta _{f}\rho _{f}^{2}-\theta _{d}\rho _{d}^{2}\right).}$

Aire balayée par un rayon : l'aire en noir est égale à la moitié de l'aire du disque, les aires blanche, bleue et jaune sont toutes trois égales à celle du disque.

En particulier, si l'on prend pour θ_k la valeur 2kπ, la surface balayée par le rayon de M₀ à M₁ correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon OM₁, les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon OM₁[4]. C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636[1].

Le rayon de courbure s'exprime par[4]: ${\displaystyle R={\frac {(4\rho ^{4}+a^{4})^{\frac {3}{2}}}{2\rho (4\rho ^{4}+3a^{4})}}}$ La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine.

Son abscisse curviligne est donnée par[3] - [4]: ${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\rho }{a}}\right)^{4}}}\mathrm {d} \rho ={\frac {a}{2}}{\frac {4\theta ^{2}+1}{\sqrt {\theta (4\theta ^{2}+1)}}}\mathrm {d} \theta }$ et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèce[4].

La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituus[3] d'équation polaire ρ²θ = a².

Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation ρ² = a²θ sur la courbe d'équation ${\displaystyle x=-{\frac {2}{3a^{2}}}y^{3}}$, son centre se déplace sur l'axe des abscisses[3]. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704[5].

Spirale de Fermat d'équation ρ² = 4θ roulant sur la courbe 3x = –8y³ et dont le centre reste sur l'axe des x.

Les 150 premiers points du modèle de Vogel

La spirale de Fermat peut servir à modéliser l’implantation des fleurs du tournesol : Helmut Vogel en 1979[6] a remarqué que les points de coordonnées polaires ${\displaystyle \rho =c{\sqrt {n}}}$ et ${\displaystyle \theta =2\pi {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}n}$ simulait assez fidèlement la fleur de tournesol[7]. Or ces points sont situés sur la spirale de Fermat d'équation ${\displaystyle c^{2}\varphi ^{2}\theta =2\pi \rho ^{2}}$ où φ est le nombre d'or et l'angle ${\displaystyle 2\pi {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$ est l'angle d'or. Cette modélisation reste cependant une simplification d'une phyllotaxie plus complexe[8].

D'autres[9] - [10] l'ont utilisée pour modéliser le taijitu du Yin et Yang en limitant la courbe d'équation ρ² = θ au cercle de rayon 1.

• Pierre Varignon, « Nouvelle formation des spirales - exemple II », Mémoire de l'académie des sciences de l'Institut de France,‎ avril 1704, p. 94 - 103 (lire en ligne).
• Francisco G. Teixeira, Obras sobre Mathematica : Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, vol. V, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909 (lire en ligne), p. 67-68.
• Robert Ferreol, « Spirale de Fermat », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2017 (consulté le 9 décembre 2018)