Spirale hyperbolique

La courbe est constituée de deux branches symétriques l'une de l'autre par une symétrie d'axe (O,v). Elle possède une droite asymptote d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {m}{\sin \theta }}}$ (droite parallèle à (O, u) et à une distance m du pôle O) et a pour point asymptote le pôle O.

C'est une courbe transcendante[4].

C'est une courbe à sous-tangente polaire constante. Plus précisément, si T est le point d'intersection de la tangente en M avec la droite perpendiculaire à OM passant par O, quel que soit le point M, on a OT = m. Cette propriété est caractéristique des spirales hyperboliques.

Son rayon de courbure est [4] - [5]: ${\displaystyle R=m{\frac {\left(1+\theta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\theta ^{4}}}=\rho {\frac {(m^{2}+\rho ^{2})^{\frac {3}{2}}}{m^{3}}}={\frac {MN^{3}}{ON\times OT}}}$ où T et N sont les points d'intersection de la perpendiculaire à (OM) avec la tangente et la normale à la courbe en M.

Construction du centre de courbure de la spirale hyperbolique

Cette propriété permet à Franck Balitrand de proposer une construction du centre de courbure[6] : en considérant le point d'intersection ω de la parallèle à la normale passant par T et de la perpendiculaire au rayon (OM) passant par M, la droite (Oω) rencontre la normale à la courbe en son centre de courbure.

Son abscisse curviligne s vérifie[4]: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {m}{\theta ^{2}}}{\sqrt {1+\theta ^{2}}}}$

La longueur d'un arc de courbe entre deux points M₁ et M₂ situés sur la même branche est donnée par la formule [5]: ${\displaystyle L=g(M_{2}T_{2})-g(M_{1}T_{1})}$ où les points T_i sont définis comme précédemment et où la fonction g est définie par : ${\displaystyle g(t)=t+{\frac {3}{2}}\ln \left({\frac {t-m}{t+m}}\right)}$ La spirale s'enroule donc autour de son pôle selon une spirale de longueur infinie[4].

L'aire balayée par un rayon entre les points M₁ et M₂ est donnée par la formule [5]: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}m(\rho _{1}-\rho _{2})}$

Sur ces pistes circulaires, tous les parcours en bleu ont même longueur.

Pour tout θ, on a ρθ = m. Cette égalité est à rapprocher de l'égalité sur les coordonnées cartésiennes xy = m qui caractérise l'hyperbole. C'est la raison pour laquelle cette courbe est appelée «spirale hyperbolique». On peut traduire cette propriété géométriquement en appelant A_M, le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec la demi-droite [O, u) et en remarquant que la longueur de l'arc A_MM est constant. Les points de départ des coureurs placés sur des pistes circulaires concentriques, doivent être placés sur une spirale hyperbolique si ceux-ci doivent tous parcourir la même distance avant de franchir la ligne d'arrivée.

La spirale hyperbolique est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon m, de la spirale d'Archimède d'équation polaire ρ = mθ.

Un escalier à vis en perspective dessine une portion de spirale hyperbolique.

La spirale hyperbolique est la projection conique d'une hélice circulaire[7]. Plus exactement : si (Γ) est une hélice circulaire de rayon R, si C est un point de l'axe de l'hélice et (p) un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélice et à une distance d du point C, alors la projection conique de centre C sur le plan (p) envoie l'hélice sur la spirale hyperbolique de paramètre m = R/d. Ainsi un escalier en colimaçon vu de l'axe de l'escalier se développe comme une spirale hyperbolique.

Sa podaire par rapport au pole est la spirale tractrice[8] (tractoire du cercle pour un longueur l égale au rayon).

La spirale hyperbolique (rouge) est la polaire de la développante du cercle (bleu).

Elle est elle-même la polaire de la développante du cercle[9].

Lorsqu'elle roule sur une ligne droite, son pôle décrit une tractrice[10].

• (la) Pierre Nicolas, De lineis Logarithmicis, & Spiralibus Hyperbolicis Exercitationes Geometrica, Toulouse, 1696 (lire en ligne), p. 23-44.
• Pierre Varignon, « Nouvelle formation des spirales - exemple II », Mémoire de l'académie des sciences de l'Institut de France,‎ avril 1704, p. 94 - 103 (lire en ligne).
• Théodore Olivier, Développements de géométrie descriptive, Carilian-Goeury et vor Dalmont, 1843 (lire en ligne), p. 76-87.
• Francisco G. Teixeira, Obras sobre Mathematica : Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, vol. V, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909 (lire en ligne), p. 72-73.
• Franck H. Balitrand, « Construction du centre de courbure de la spirale hyperbolique », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, vol. 16,‎ 1916, p. 223-225 (lire en ligne).
• Robert Ferreol, « Spirale hyperbolique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2014 (consulté le 2 décembre 2018)