Courbe duale

Construction de la courbe duale (ou polaire) de la parabole (c'est une ellipse passant par l'origine) ; la tangente en M₀ a pour pôle le point M, point de contact avec l'ellipse de la polaire de M₀.

Soit P un plan projectif, C une conique (non dégénérée) de ce plan, et A un point de P. On appelle polaire de A par rapport à C la droite joignant les points de contact des tangentes à cette conique passant par A[1]. Pour les calculs et les constructions qui vont suivre, on se place dans le cas où P est un plan euclidien réel R² prolongé par la droite de l'infini, et on choisit comme conique le cercle unité x² + y² = 1, de centre O et de rayon 1. Dans ce cas, la polaire de A est la droite D orthogonale à OA et passant par l'inverse de A, c'est-à-dire par le point B de la demi-droite OA tel que OA×OB = 1. Réciproquement, on dit que la droite D a pour pôle le point A. Enfin, on prolonge cette construction en prenant pour polaire de O la droite de l'infini, et pour pôle d'une droite passant par O le point à l'infini de la direction orthogonale à cette droite.

On peut alors définir très simplement la courbe duale d'une courbe régulière quelconque : c'est la réunion des pôles des tangentes à la courbe, ou, ce qui est équivalent, l'enveloppe des polaires des points de la courbe ; l'inversion étant une transformation involutive, on vérifie aisément que le dual de la courbe duale n'est autre que la courbe initiale, d'où le nom de transformation par polaires réciproques donnée à cette transformation.

En coordonnées cartésiennes, le point (a,b) a pour polaire la droite d'équation aX+bY=1, et la droite d'équation aX+bY+c=0 a pour pôle le point (-a/c, -b/c).

On déduit des formules précédentes la représentation paramétrique de la courbe duale : si la courbe C est définie paramétriquement par ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$, la courbe duale possède le système d'équations paramétriques

${\displaystyle X(t)={\frac {y'(t)}{y(t)x'(t)-x(t)y'(t)}}}$

${\displaystyle Y(t)={\frac {-x'(t)}{y(t)x'(t)-x(t)y'(t)}}}$ ;

ou, en coordonnées projectives, pour une courbe donnée par ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}$, la forme plus symétrique[2] :

${\displaystyle X(t)={z(t)y'(t)-y(t)z'(t)}\,}$,

${\displaystyle Y(t)=x(t)z'(t)-z(t)x'(t)\,}$,

${\displaystyle Z(t)=y(t)x'(t)-x(t)y'(t)\,}$.

Le dual d'un point d'inflexion est un point de rebroussement, et deux points ayant une tangente commune correspondent à un point double de la courbe duale.

Les équations paramétriques précédentes se généralisent aux courbes algébriques rationnelles d'un plan projectif défini sur un corps quelconque, à condition d'utiliser la dérivée formelle.

Correspondances entre courbes duales

Les propriétés de la courbe initiale se reflètent sur la courbe duale. Ainsi, sur l'image de droite, la courbe rouge a trois singularités : un point double au centre, et deux points de rebroussements en bas à droite et à gauche. La courbe duale noire est régulière, mais possède quatre points remarquables : les deux points les plus hauts ont la même tangente (horizontale), et la partie haute de la courbe présente deux points d'inflexion. La tangente double correspond au point double, et les points d'inflexion (où la variation de la pente de la tangente est non monotone) correspondent aux points de rebroussement. Pour une courbe régulière et convexe, on vérifie facilement que la courbe duale sera également régulière et convexe. Enfin, des singularités d'ordre supérieur seraient également en correspondance, ainsi un point triple correspondrait à une tangente triple de la courbe duale.

• Dualité (géométrie projective)

• Formule de Plücker

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dual curve » (voir la liste des auteurs).
• Robert Ferréol, Polaire réciproque d'une courbe
• (en) Robert J. Walker, Algebraic Curves, Princeton (1950)
• (en) Egbert Brieskorn et Horst Knörrer (de), Plane Algebraic Curves, Birkhauser (1986)
• (en) William Fulton, Intersection theory, Springer, coll. « Ergebnisse (en), 3^e série » (n^o 2), 1998, 470 p. (ISBN 978-3-540-62046-4)