Changement de variable (simplification algébrique)

Considérons le système d'équations

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

où ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont des nombres entiers positifs avec ${\displaystyle x>y}$. (Source: 1991 AIME)

La résolution de cette équation n'est normalement pas très difficile, mais elle peut être un peu fastidieuse. Cependant, on peut réécrire la deuxième équation tel que ${\displaystyle xy(x+y)=880}$. Faire le changement de variable ${\displaystyle s=x+y,t=xy}$ réduit le système à ${\displaystyle s+t=71,st=880.}$ La résolution de celle-ci donne ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ou ${\displaystyle (s,t)=(55,16).}$ Le changement de la première paire ordonnée nous donne ${\displaystyle x+y=16,xy=55}$, qui nous donne facilement la solution ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ Le changement de la deuxième paire ordonnée nous donne ${\displaystyle x+y=55,xy=16}$, qui nous donne aucune solution. Par conséquent, la solution qui permet de résoudre le système est ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Change of variables » (voir la liste des auteurs).
  1. David R. Stoutemyer, « Ten commandments for good default expression simplification », Journal of Symbolic Computation, special Issue in Honour of Keith Geddes on his 60th Birthday, vol. 46,‎ 1^er juillet 2011, p. 859-887 (DOI 10.1016/j.jsc.2010.08.017, lire en ligne, consulté le 24 septembre 2015)