Vecteur directeur

En mathématiques, on appelle vecteur directeur d'une droite $(D)$ tout vecteur ${\vec {U}}$ , non nul, qui possède la même direction que la droite $(D)$ .

Pour une droite donnée, il existe une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Propriétés

Propriété : Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Théorème — Soit une droite $(D)$ du plan repéré par le repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$ .
Si une équation de $(D)$ est $ax+by+c=0$ , alors les deux vecteurs de coordonnées respectives $(-b;a)$ et $(b;-a)$ sont des vecteurs directeurs de $(D)$ .

Par exemple, supposons que l'équation d'une droite soit $3x-2y+15=0$ , alors $(2;3)$ et $(-2;-3)$ sont tous les deux des vecteurs directeurs.

Démonstration

Soit un point $A(x;y)$ appartenant à $(D)$ .
On a alors $ax+by+c=0$ .
Soit le point $B(x-b;y+a)$ , qui est distinct de A puisque a et b ne sont pas tous les deux nuls ; on peut vérifier qu'il appartient aussi à $(D)$ :