Probabilités (mathématiques élémentaires)

Lors d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire soumise au hasard (de alea (latin) le hasard, les dés), on commence par faire l'inventaire de tous les résultats possibles. L'ensemble de tous les résultats possibles sera appelé l'univers Ω des possibles.

Chaque résultat possible sera appelé une éventualité ω ou une issue ω.

Exemple 1 : On lance une pièce. L'univers des possibles est Ω={P; F}.(P pour Pile, F pour face). Le P est une éventualité de ce lancer.

Exemple 2 : On prend au hasard un réel strictement compris entre 0 et 1 non inclus. L'univers des possibles est Ω =] 0 ; 1[. Le nombre ${\displaystyle \scriptstyle \ {\sqrt {2}}/2\ }$ est une des éventualités.

Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'univers des possibles est Ω={FFF ; FFP ; FPF ; FPP ; PFF ; PFP ; PPF ; PPP}. La suite de caractères PFP est une éventualité de cette série de lancers.

Un ensemble de résultats possibles définit un événement. C'est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il peut être décrit en extension (dans le cas d'un ensemble fini), ou par une description.

Exemple 1 : On lance un dé. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La partie A = {1 ; 2 ; 3} est un événement décrit en extension. Cet événement se décrit par la phrase « on obtient au plus 3 en lançant le dé ». Tout lancer de dé donnant comme résultat 1, 2 ou 3 réalise l'événement A.

Exemple 2 : Dans le choix d'un nombre arbitraire entre 0 et 1, l'événement décrit par la phase « on obtient un nombre rationnel » correspond à l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap \left]0;1\right[}$.

Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'événement « on obtient plus de piles que de faces » correspond à l'ensemble {FPP ; PFP ; PPF ; PPP}.

L'univers Ω est appelé événement certain. Dans un lancer de dé, l'événement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 » correspond à l'événement {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, c'est-à-dire à l'événement certain.

L'ensemble vide ∅ est appelé événement impossible. dans un lancer de dé, l'événement « obtenir plus de 7 » correspond à l'événement {} = ∅, c'est-à-dire l'événement impossible.

Un événement qui ne comporte qu'un seul élément ou éventualité est appelé événement élémentaire.

L'union : l'événement ${\displaystyle A\cup B}$ est réalisé dès que A ou B est réalisé. Dans un lancer de dé, si l'événement A est « obtenir un nombre pair » et l'événement B « obtenir un multiple de 3 », l'événement ${\displaystyle A\cup B}$ est l'événement « obtenir un nombre pair OU un multiple de 3 », c'est-à-dire {2 ; 3 ; 4 ; 6}.

L'intersection : l'événement ${\displaystyle A\cap B}$ est réalisé dès que A et B sont réalisés dans la même expérience. Dans un lancer de dé, si l'événement A est « obtenir un nombre pair » et l'événement B « obtenir un multiple de 3 », l'événement ${\displaystyle A\cap B}$ est l'événement « obtenir un nombre pair ET multiple de 3 », c'est-à-dire {6}.

Le contraire : l'événement contraire de A, noté ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ou A^c contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. C'est l'événement qui est réalisé dès que A n'est pas réalisé. Dans un lancer de dé, si l'événement A est « obtenir un nombre pair », l'événement contraire de A, ${\displaystyle {\overline {A}}}$ est l'événement « obtenir un nombre impair ».

Lorsque deux événements ont une intersection vide, c'est qu'ils ne peuvent pas être réalisés au cours d'une même expérience. On les appelle alors événements incompatibles. Dans un lancer de dé, si l'événement A est « obtenir un multiple de 5 » et l'événement B « obtenir un multiple de 3 », les événements A et B sont incompatibles.

Il ne faut pas confondre les événements incompatibles (qui ne peuvent se produire lors d'une même expérience) et événements indépendants (qui se produisent indépendamment l'un de l'autre).

Maintenant que tout le vocabulaire est en place, il s'agit de quantifier la probabilité de réalisation de chaque événement.

Lorsque l'univers lié à l'expérience aléatoire comporte un nombre fini d'éventualités, on affecte à chaque éventualité une probabilité d'apparition. Il s'agit d'un nombre compris entre 0 et 1. Ces probabilités doivent cependant vérifier une unique contrainte : leur somme doit être égale à 1. Le choix de ces nombres est laissé à la liberté de celui qui tente de modéliser le phénomène aléatoire. La probabilité d'un événement est alors définie comme la somme des probabilités des éventualités qui composent cet événement.

Lors d'un lancer de dé, par exemple, on peut estimer que l'apparition de chaque nombre est équiprobable, c'est-à-dire que la probabilité d'obtenir 1 est égale à celle d'obtenir 2 ou celle d'obtenir 3 etc. La contrainte stipulant que la somme des probabilités doit donner 1 impose alors de prendre pour chaque éventualité une probabilité de 1/6. Pour éviter de longs discours on écrira alors p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1/6. Mais on pourrait tout autant supposer le dé pipé de telle sorte que la probabilité d'apparition d'une face soit proportionnelle à sa valeur. Ainsi on obtiendrait : p(1) = a, p(2)=2a, p(3)=3a, p(4)=4a, p(5)=5a, p(6)=6a. La contrainte sur la somme des probabilités, qui doit valoir toujours 1, donne comme seule valeur possible pour a, a = 1/21.

Il est certain que choisir une loi de probabilité plutôt qu'une autre est arbitraire, la seule contrainte est que cette modélisation représente au mieux la réalité. Dans le cadre des mathématiques élémentaires, on essaie de se placer au maximum dans un univers équiprobable ou dans un univers dont la probabilité correspond au « bon sens ». Pour un lancer de pièce équilibrée, on supposera que p(Pile) = p(Face) = 1/2, ou bien dans le cas d'une sélection au hasard d'une personne dans une foule comportant 30 filles et 70 garçons, on prendra p(fille) = 30 % et p(garçon) = 70 %. La science des probabilités a développé par ailleurs des outils permettant, par des expériences répétées, de valider le modèle de probabilité choisi.

En terme mathématique, une première approche de la notion de probabilité consiste à dire qu'une probabilité sur un ensemble fini ${\displaystyle \Omega }$ est une application de ${\displaystyle \Omega }$ dans ${\displaystyle [0;1]}$ vérifiant l'égalité

• ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$.

On arrive alors à une deuxième approche de la notion de probabilité : une probabilité sur un ensemble fini ${\displaystyle \Omega }$ est une application de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ dans ${\displaystyle [0;1]}$.

On identifie alors la probabilité d'une issue avec la probabilité de l'événement élémentaire correspondant, c'est-à-dire qu'on identifie ${\displaystyle p(\omega )}$ et ${\displaystyle p(\{\omega \})}$. On définit alors la probabilité de l'événement A comme

• ${\displaystyle p(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )=\sum _{\omega \in A}p(\{\omega \})}$

Les probabilités sur les événements vérifient alors les propriétés élémentaires suivantes :

• ${\displaystyle p(\Omega )=1}$
• ${\displaystyle p(\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle p({\overline {A}})=1-p(A)}$
• ${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}$

Si on estime que toutes les éventualités sont équiprobables, et si on note ${\displaystyle \operatorname {Card} (\Omega )}$, le cardinal de ${\displaystyle \Omega }$, c'est-à-dire le nombre d'éléments dans ${\displaystyle \Omega }$, chaque éventualité a une probabilité d'apparition de

• ${\displaystyle p(\omega )={\dfrac {1}{\operatorname {Card} (\Omega )}}}$.

La probabilité de l'événement A est alors donnée par la formule

• ${\displaystyle p(A)={\dfrac {\operatorname {Card} (A)}{\operatorname {Card} (\Omega )}}={\dfrac {\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}}}$

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