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Tétraèdre équifacial

En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre (non plan) dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur.

Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des XIXe et XXe siècles[1].

Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes.

Propriétés

Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées), qui sont aussi les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) , et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre[1].

Patron du tétraèdre équifacial.

Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°.

Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial ont trois valeurs , et les angles des faces, trois valeurs , angles en de la face .

D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet, , donc : les angles des faces sont strictement aigus [2] - [3].


Son parallélépipède circonscrit (dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.

Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. a pour coordonnées barycentriques dans , et ainsi de suite.

Le carré de la longueur du côté de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant à dans le tétraèdre, est ; on obtient les autres par permutations [4]. Ceci confirme que les angles sont aigus.

L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles et de longueurs de côtés , divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.

Caractérisations

Un tétraèdre (non plan) est équifacial si et seulement si [5] - [6]:

Un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est équifacial, orthocentrique ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales [7] - [8] - [9].

Les tétraèdres équifaciaux sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes, et toutes les géodésiques fermées sont non auto-sécantes [10].

Formules métriques

La sphère circonscrite a pour rayon[11]:

La sphère inscrite a pour rayon[11]:

avec

est le rayon des cercles circonscrits aux faces et l'aire de n'importe quelle face, donnée par la formule de Héron.

La longueur commune des quatre hauteurs est égale à [11].

Le volume d'un tétraèdre équifacial d'arêtes opposées de longueurs a, b, c est donné par [11]

On en déduit la relation intéressante suivante reliant le volume et le rayon de la sphère circonscrite :

Voir également

Références

  1. Victor Thébault, « Sur le tétraèdre dont les arêtes opposées sont deux à deux égales », L'Enseignement mathématique, , p. 50-60 (lire en ligne)
  2. Jean-Marc LÉVY-LEBLOND et Jean-Paul MARMORAT, « Tout tétraèdre équiaire est équifacial », Quadrature, janvier-février-mars 2021 (lire en ligne Accès payant)
  3. Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 382-383
  4. Pierre Audibert, « Tétraèdres équifaciaux, ou disphénoïdes »
  5. Em. Lemoine, « Quelques théorèmes sur les tétraèdres dont les arêtes opposées sont égales deux à deux, et solution de la question 1272 », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 19, , p. 133-138 (lire en ligne)
  6. « concours général 1992 - exercice 3 »,
  7. E. Ehrhart, Articles de mathématiques : Sur les tétraèdres dont les perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes, Cedic/Nathan, , p. 75-76
  8. E. Ehrhart, « Sur le triangle et le tétraèdre », Bulletin de l'APMEP, no 381, , p. 621 (lire en ligne)
  9. Bertrand Gambier, « Sur les tétraèdres dont certaines bihauteurs se rencontrent », Bulletin de la S. M. F., vol. 76, , p. 79-94 (lire en ligne)
  10. (en) Dmitry, Ekaterina Fuchs, « Closed geodesics on regular polyhedra », Moscow Mathematical Journal, vol. 7 (2), , p. 265–279 (lire en ligne Accès payant)
  11. Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, , p. 330-336

Paul COUDERC, Augustin BALLICCIONI, Premier livre du tétraèdre à l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation., Paris, Gauthier-Villars, , p. 137-175

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