Accueil🇫🇷Chercher

Tétraèdre trirectangle

En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droit aboutissent au même sommet. Ce sommet H est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de H est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de H).

Un tétraèdre trirectangle construit sur un trièdre trirectangle.

Coordonnées des points remarquables

Soient A,B,C les sommets de la base, ; dans le repère orthonormé , on les expressions suivantes :

  • le centre de gravité
  • le centre de gravité de la base
  • le centre de la sphère circonscrite , laquelle est de rayon
  • L'équation du plan de la base :

Formules métriques

Le tétraèdre trirectangle a pour volume

La longueur h de la hauteur satisfait [1] - [2]

L'aire de la base est donnée par [3]

Construction

Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle ABC (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant , on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

Théorème de de Gua

Si l'aire de la base est et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont , et , alors

C'est une généralisation au tétraèdre du théorème de Pythagore.

Cas particulier

Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à , on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier [4].

Parallélépipède circonscrit

Le parallélépipède circonscrit a pour sommets .

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête , et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur .

Voir également

Références

  1. Eves, Howard Whitley, "Great moments in mathematics (before 1650)", Mathematical Association of America, 1983, p. 41.
  2. Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, , p. 155-156
  3. Antonio Gutierrez, « Right Triangle Formulas »
  4. Maurice Starck, « Des tétraèdres remarquables »
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.