Deltaèdre
Un deltaèdre est un polyèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Le nom est issu de la lettre majuscule du grec delta (Δ), qui a la forme d'un triangle. Il existe une infinité de deltaèdres, mais de ceux-ci, seuls huit sont convexes, ayant quatre, six, huit, dix, douze, quatorze, seize et vingt faces. Le nombre de faces, arêtes et sommets est listé ci-dessous pour chacun des huit deltaèdres convexes.
Les deltaèdre ne doivent pas être confondus avec les deltoèdres (épelé avec un "o"), les polyèdres dont les faces sont des cerfs-volants.
Les huit deltaèdres convexes
| Nom | Image | Faces | Arêtes | Sommets | Configurations de sommet |
|---|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre régulier |  | 4 | 6 | 4 | 4 × 3³ |
| Diamant triangulaire |  | 6 | 9 | 5 | 2 × 3³ 3 × 34 |
| Octaèdre régulier |  | 8 | 12 | 6 | 6 × 34 |
| Diamant pentagonal |  | 10 | 15 | 7 | 5 × 34 2 × 35 |
| Disphénoïde adouci |  | 12 | 18 | 8 | 4 × 34 4 × 35 |
| Prisme triangulaire triaugmenté |  | 14 | 21 | 9 | 3 × 34 6 × 35 |
| Diamant carré gyroallongé |  | 16 | 24 | 10 | 2 × 34 8 × 35 |
| Icosaèdre régulier |  | 20 | 30 | 12 | 12 × 35 |
Seuls trois deltaèdres sont des solides de Platon (polyèdres dans lesquels le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet est constant) :
- le deltaèdre à 4 faces (ou tétraèdre), dans lequel trois faces se rencontrent à chaque sommet
- le deltaèdre à 8 faces (ou octaèdre), dans lequel quatre faces se rencontrent à chaque sommet
- le deltaèdre à 20 faces (ou icosaèdre), dans lequel cinq faces se rencontrent à chaque sommet
Dans le deltaèdre à 6 faces, certains sommets sont de degré 3 et certains de degré 4. Dans les deltaèdres à 10, 12, 14 et 16 faces, certains sommets sont de degrés 4 et certains de degré 5. Ces cinq deltaèdres irréguliers font partie de la classe des solides de Johnson : les polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers.
Les deltaèdres maintiennent leur forme, même si les arêtes sont libres de tourner autour de leurs sommets, c’est-à-dire que les angles entre les arêtes sont fluides. Les polyèdres n'ont pas tous cette propriété : par exemple, si vous relâchez certains angles du cube, le cube peut être déformé en un prisme carré non droit.
Formes non-convexes
Il existe un nombre infini de formes non-convexes.
Quelques exemples de deltaèdres non-convexes :
D'autres peuvent être engendrés en ajoutant des pyramides équilatérales aux faces de ces cinq polyèdres réguliers :
- triakitétraèdre équilatéral
- tétrakihexaèdre équilatéral
- triakioctaèdre équilatéral (octangle étoilé)
- pentakidodécaèdre équilatéral
- triaki-icosaèdre équilatéral
De plus, en ajoutant des pyramides inversées aux faces :
 Grand icosaèdre (20 triangles se coupant) |
 Octangle étoilé (24 triangles) |
 Troisième stellation de l'icosaèdre (60 triangles) |
Liens externes
- MathWorld
- Huit deltaèdres convexes (en anglais)
- Deltaèdre sur mathcurve
Références
- H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952.
- H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142-144, 1989.
- Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55-57
- Martin Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
- A. Pugh Polyhedra: A Visual Approach. Berkeley, CA: University of California Press, pp. 35-36, 1976.