Théorie des plaques

Déplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite)

Soit un point M(x, y, z) de la plaque au repos. À l'instant t, sa position est M’, et l'on définit le vecteur déplacement

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {MM} '}}={\begin{pmatrix}u\\v\\w\\\end{pmatrix}}}$

Pour une plaque à un instant donné, les déplacements sur les axes u, v et w sont fonction du point M, donc de ses coordonnées (x, y, z), et de l'instant t.

Par hypothèse, les déplacements verticaux sont les mêmes pour tous les points d'une même fibre normale, on a donc :

${\displaystyle w(x,y,{\bcancel {z}},t)=w(x,y,t)}$

La fibre normale en (x, y) tourne d'un angle θ_x autour de l'axe x et d'un angle θ_y autour de l'axe y. Comme on est en petite déformation, l'arc de cercle décrit par un point lors de la rotation de la fibre normale est assimilable à un segment de droite, et l'on a :

${\displaystyle u(x,y,z,t)\approx z\cdot \theta _{y}(x,y,t)}$

${\displaystyle v(x,y,z,t)\approx -z\cdot \theta _{x}(x,y,t)}$

ou encore

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\theta _{y}\\[1ex]{\frac {\partial v}{\partial z}}=-\theta _{x}\\\end{matrix}}}$

Démonstration

Relation entre θ_x, θ_{y, u et v}

D'après la trigonométrie, on a

${\displaystyle \tan \theta _{x}=-{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} z}}}$

le signe - vient du fait que l'axe x pointe vers le lecteur, le sens positif est donc le sens antihoraire, ce qui correspond à un déplacement v négatif lorsque z est positif. Et comme on est en petites déformations, θ_x ≪ 1 donc tan θ_x ≃ θ_x.

On a la même chose pour θ_y et u ; le signe + vient du fait que l'axe y pointe à l'opposé du lecteur, le sens positif est donc le sens horaire.

Les angles θ_x et θ_y représentant aussi la pente que prend le feuillet moyen, on a donc également :

${\displaystyle {\begin{matrix}\theta _{x}={\frac {\partial w}{\partial y}}\\[1ex]\theta _{y}=-{\frac {\partial w}{\partial x}}\\\end{matrix}}}$

D'après la définition du tenseur des déformations, on a :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\varepsilon _{11}={\frac {\partial u}{\partial x}}=z\cdot {\frac {\partial \theta _{y}}{\partial x}}=-z\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\[1ex]\varepsilon _{22}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z\cdot {\frac {\partial \theta _{x}}{\partial y}}=-z\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\\[1ex]\varepsilon _{33}={\frac {\partial w}{\partial z}}=0\\[1ex]\varepsilon _{12}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)={\frac {z}{2}}\left({\frac {\partial \theta _{y}}{\partial y}}-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial x}}\right)=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\[1ex]\varepsilon _{13}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}(\theta _{y}-\theta _{y})=0\\[1ex]\varepsilon _{23}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)={\frac {1}{2}}(-\theta _{x}+\theta _{x})=0\\\end{array}}\right.}$

soit le tenseur

${\displaystyle [\varepsilon ]={\begin{pmatrix}-z\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}&0\\-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}&-z\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

Les coefficients ε₁₃ et ε₂₃ (demi-variations des angles droits d'un petit volume élémentaire) sont nuls du fait de l'hypothèse qui lie les rotations de la fibre normale θ_x, θ_y aux dérivées spatiales du déplacement transversal w. C'est l'équivalent de l'hypothèse d'Euler-Bernoulli pour les poutres.

Comme pour les poutres, la déformation varie de manière linéaire avec z : de part et d'autre du feuillet moyen, une face est en traction et l'autre est en compression.

On remarque qu'ici le feuillet moyen ne se déforme pas dans son plan : on ne prend pas en compte les déformations dites de membrane.

Si l'on définit le vecteur des courbures

${\displaystyle {\vec {\chi }}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \theta _{y}}{\partial x}}\\[1ex]-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial y}}\\[1ex]{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \theta _{y}}{\partial y}}-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial x}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\[1ex]-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\\[1ex]-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\gamma _{x}\\[1ex]-\gamma _{y}\\[1ex]-\gamma _{xy}\end{pmatrix}}}$

on a alors

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}=z\cdot {\vec {\chi }}}$.

On peut définir de manière plus générale le tenseur de courbure

${\displaystyle \mathrm {K} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \theta _{y}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \theta _{y}}{\partial y}}-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial x}}\right)\\[1ex]{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \theta _{y}}{\partial y}}-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial x}}\right)&-{\frac {\partial \theta _{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\[1ex]-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial x}}&-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\gamma _{x}&-\gamma _{xy}\\[1ex]-\gamma _{yx}&-\gamma _{y}\end{pmatrix}}}$.

Le tenseur des déformations sans les termes en z s'écrit donc :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\\\end{pmatrix}}=z\cdot \mathrm {K} }$.

Cette écriture met en évidence la linéarité de la déformation en z.

La détermination du champ des vitesses permet d'utiliser les puissances virtuelles en statique (il s'agit alors de vitesses virtuelles), et de résoudre les problèmes de dynamique.

On considère qu'une fibre normale se comporte comme un solide indéformable. On peut donc en chaque point déterminer le torseur cinématique :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\omega _{x}={\frac {\partial \theta _{x}}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial t}}\\[1ex]\omega _{y}={\frac {\partial \theta _{y}}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial t}}\\[1ex]\omega _{z}=0&{\text{ (pas de torsion dans le plan)}}\\v_{z}={\frac {\partial w}{\partial t}}\\\end{matrix}}\right.}$

Sur le feuillet moyen (w = 0), on a :

${\displaystyle v_{x}=v_{y}=0}$

soit

${\displaystyle \{{\mathcal {V}}\}={\begin{matrix}\\[1ex]\\[1ex]\\\end{matrix}}_{\mathrm {G} }{\begin{Bmatrix}{\dot {\theta }}_{x}&0\\[1ex]{\dot {\theta }}_{y}&0\\[1ex]0&{\dot {w}}\\\end{Bmatrix}}={\begin{matrix}\\[1ex]\\[1ex]\\\end{matrix}}_{\mathrm {G} }{\begin{Bmatrix}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial t}}&0\\[1ex]-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial t}}&0\\[1ex]0&{\frac {\partial w}{\partial t}}\\\end{Bmatrix}}}$

Les valeurs de v_x et de v_y à une altitude z quelconque se détermine en transportant le torseur, ou bien en écrivant ${\displaystyle {\dot {u}}(z)}$ et ${\displaystyle {\dot {v}}(z)}$

${\displaystyle \{{\mathcal {V}}\}={\begin{matrix}\\[1ex]\\[1ex]\\\end{matrix}}_{z}{\begin{Bmatrix}{\dot {\theta }}_{x}&z{\dot {\theta }}_{y}\\[1ex]{\dot {\theta }}_{y}&-z{\dot {\theta }}_{x}\\[1ex]0&{\dot {w}}\\\end{Bmatrix}}={\begin{matrix}\\[1ex]\\[1ex]\\\end{matrix}}_{z}{\begin{Bmatrix}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial t}}&-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial t}}\\[1ex]-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial t}}&-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial t}}\\[1ex]0&{\frac {\partial w}{\partial t}}\\\end{Bmatrix}}}$

Dans le cas des poutres, on peut définir les efforts de cohésion pour une section complète. Dans le cas des plaques, il faut considérer deux sections perpendiculaires d'un petit élément de matière ; les efforts intérieurs sont donc définis « par mètre ». On peut établir une relation entre le tenseur des contraintes et les efforts de cohésion (principe d'équivalence).

Moments fléchissants et contraintes normales

On peut définir deux moments fléchissants :

• le moment fléchissant autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale à x ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte normale σ_xx :

  ${\displaystyle m_{xy}=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{xx}z\mathrm {d} z}$ ;

• le moment fléchissant autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale à y ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte normale σ_yy :

  ${\displaystyle m_{yx}=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{yy}z\mathrm {d} z}$.

Ils s'expriment en newtons (N) (N m/m).

Moments de torsion et cission

On peut définir deux moments de torsion :

• le moment de torsion autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale à y ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte de cisaillement τ_yx :

  ${\displaystyle m_{yy}=\int _{-h/2}^{h/2}\tau _{yx}z\mathrm {d} z}$ ;

• le moment de torsion autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale à x ; il se traduit par une répartition linéaire de la contrainte de cisaillement τ_xy :

  ${\displaystyle m_{xx}=\int _{-h/2}^{h/2}\tau _{xy}z\mathrm {d} z}$.

Ils s'expriment également en newtons (N) (N m/m).

Efforts tranchants et cission

On peut définir deux efforts tranchants :

• l'effort tranchant sur la face normale à y ; il se traduit par une répartition de la contrainte de cisaillement τ_yz qui tend vers 0 sur les surfaces libres (voir Flexion (matériau) > Cisaillement) :

  ${\displaystyle q_{y}=\int _{-h/2}^{h/2}\tau _{yz}\mathrm {d} z}$ ;

• l'effort tranchant sur la face normale à x ; il se traduit par une répartition de la contrainte de cisaillement τ_xz qui tend vers 0 sur les surfaces libres :

  ${\displaystyle q_{x}=\int _{-h/2}^{h/2}\tau _{xz}\mathrm {d} z}$.

Ils s'expriment N/m, et sont négligés dans le cas des plaques minces.

Cette théorie permet de déterminer la propagation des ondes dans les plaques, ainsi que l'étude des ondes stationnaires et des modes vibratoires. Les illustrations ci-dessous montrent quelques modes vibratoires d'une peau de tambour (plaque circulaire simplement supportée sur ses bords).

• 
  mode k = 0, p = 1
• 
  mode k = 0, p = 2
• 
  mode k = 1, p = 2

• Mécanique des milieux continus
• Résistance des matériaux
• Stephen Timoshenko
• Théorie des coques
• Théorie des poutres