Fonction signe

La fonction signe peut également s’écrire :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\{\frac {x}{|x|}}{\text{ ou }}{\frac {|x|}{x}}&{\text{si }}x\neq 0\end{cases}}}$

On peut aussi la construire en résultat d'une limite, notamment en jouant avec les propriétés de certaines fonctions hyperboliques.

Graphe de la fonction tangente hyperbolique

En prenant ${\displaystyle \cosh(x)}$ (symétrique sur l'axe y) comme fonction de substitution pour ${\displaystyle |x|}$, annulant sa propriété de croissance exponentielle en multipliant son inverse par ${\displaystyle e^{x}}$ et retranchant ${\displaystyle 1}$ au résultat on obtient une fonction similaire à la fonction signe, passant par ${\displaystyle 0}$ (figure ci à droite).

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cosh(x)}}-1={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=\tanh(x)}$

En analysant les limites de cette fonction en ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle -\infty }$ et ${\displaystyle 0}$ respectivement ${\displaystyle +1}$, ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle 0}$ on en déduit la relation suivante:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\lim _{\upsilon \rightarrow +\infty }\tanh(\upsilon x)=\lim _{\upsilon \rightarrow +\infty }{\frac {e^{\upsilon x}-1}{e^{\upsilon x}+1}}}$

De façon analogue, on peut déduire des relations similaires avec ${\textstyle {\frac {2}{\pi }}tan^{-1}x}$ . Ces définitions de la fonction signe sont intéressantes car elles ne posent pas de condition sur la valeur de ${\displaystyle x}$.

Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa valeur absolue et de son signe :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,x=\operatorname {sgn}(x)|x|.}$

La fonction signe peut également être liée à la fonction de Heaviside :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sgn}(x)=2H(x)-1.}$

Continuité

Elle présente une discontinuité en 0, à la fois à gauche (puisque ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn}(x)=-1\neq \operatorname {sgn}(0)}$) et à droite (puisque ${\displaystyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)}$).

Primitive

La fonction signe peut être vue comme la dérivée en tout réel différent de 0 de la fonction valeur absolue :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},\,{\frac {\mathrm {d} |x|}{\mathrm {d} x}}=\operatorname {sgn}(x).}$

• Fonction porte
• Valeur absolue