Enveloppe supérieure

L'enveloppe supérieure d'une famille ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ d'applications d'un ensemble ${\displaystyle E}$ dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ est l'application

${\displaystyle \sup _{i\in I}{f_{i}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }},\quad x\mapsto \sup _{i\in I}\left(f_{i}(x)\right)}$.

La notation ${\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}$ est justifiée par le fait[1] que l'enveloppe supérieure de la famille ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet[2] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}^{E}}$ des applications de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$.

On définit de même l'enveloppe inférieure avec ${\displaystyle \inf }$[3].

• Avec les notations précédentes, l'épigraphe[4] de l'enveloppe supérieure de la famille ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ est l'intersection des épigraphes des ${\displaystyle f_{i}}$ :${\displaystyle \operatorname {epi} \left(\sup _{i\in I}f_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}{\operatorname {epi} {f_{i}}}}$.On en déduit que :
  • ${\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}$ est convexe si ${\displaystyle E}$ est un ℝ-espace vectoriel et si les ${\displaystyle f_{i}}$ sont convexes ;
  • ${\displaystyle \sup _{i\in I}f_{i}}$ est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si ${\displaystyle E}$ est un espace topologique et si les ${\displaystyle f_{i}}$ sont fermées.
• Soit ${\displaystyle E}$ un espace localement convexe séparé. Une fonction de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues[5].

• (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne)
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
• (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Ser. » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)