Distance de Lévy-Prokhorov

Soit ${\displaystyle (M,d)}$ un espace métrique et ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ l'ensemble des mesures de probabilité sur l'espace mesurable ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$, où ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ désigne la tribu borélienne sur ${\displaystyle M}$.

Pour un sous-ensemble ${\displaystyle A\subseteq M}$ et ${\displaystyle \varepsilon >0}$, notons ${\displaystyle A^{\varepsilon }}$ le ${\displaystyle \varepsilon }$-voisinage de ${\displaystyle A}$ défini comme suit : ${\textstyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\,d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}$, où ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ est la boule ouverte de centre ${\displaystyle p}$ et de rayon rayon ${\displaystyle \varepsilon }$.

La métrique de Lévy-Prokhorov ${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to \left[0,+\infty \right[} est définie ainsi[2] :

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \forall A\in {\mathcal {B}}(M),\,\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \;{\text{et}}\;\nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}}$,

On peut vérifier qu'il s'agit d'une distance bornée par 1.

Le principal résultat justifiant l'introduction de cette distance et le suivant : si ${\displaystyle M}$ est séparable, alors la convergence faible sur l'espace ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ est équivalente à la convergence selon ${\displaystyle \pi }$[3].

De plus ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ est alors séparable et si ${\displaystyle M}$ est complet, alors ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ l'est aussi. Cette discussion se résume ainsi : si ${\displaystyle M}$est un espace polonais, alors ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ muni de la convergence en loi l'est également.

Certains auteurs suppriment l'une des inégalités dans la définition de ${\displaystyle \pi }$, ou restreignent la quantification sur ${\displaystyle A}$ aux ouverts ou aux fermés de ${\displaystyle M}$ sans changer les propriétés ci-dessus.