Sinus hyperbolique

• ${\displaystyle \sinh }$ est continue et même holomorphe donc infiniment dérivable. Sa dérivée est la fonction cosinus hyperbolique notée ${\displaystyle \cosh }$.
• ${\displaystyle \sinh }$ est impaire.
• Les primitives de ${\displaystyle \sinh }$ sont ${\displaystyle \cosh +C}$, où ${\displaystyle C}$ est une constante d'intégration.
• La restriction de ${\displaystyle \sinh }$ à ℝ est strictement croissante, concave sur ${\displaystyle \left]-\infty ,0\right[}$ et convexe sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$.

Des définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ définissent un cercle, ${\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}$ définissent la branche positive d'une hyperbole équilatère. On a en effet pour tout ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}$.

D'autre part, pour ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$ , d'où ${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$;

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$ , d'où ${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)}$;

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}}$ (obtenu en itérant la formule précédente) ;

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$.

L'utilisation de formules trigonométriques telles que ${\displaystyle \tan(2t)={\frac {2\tan t}{1-\tan ^{2}t}}}$ permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel ${\displaystyle x}$ non nul) :

${\displaystyle \sinh(x)={\frac {-1}{\tan \left(2\arctan \left(\mathrm {e} ^{x}\right)\right)}}}$ ;

voir également l'article Gudermannien.

La série de Taylor en 0 de la fonction ${\displaystyle \sinh }$ converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

${\displaystyle \sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\dots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$.