Théorème de factorisation de Weierstrass

Du développement en série entière suivant pour u ∈ ]–1;1[ :

${\displaystyle \ln(1-u)=-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {u^{n}}{n}}=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots -{\frac {u^{n}}{n}}-\ldots }$

on déduit que la fonction tronquée aux m premiers termes

${\displaystyle E(u,m)=(1-u)\mathrm {e} ^{u+u^{2}/2+\ldots +u^{m}/m}}$,

est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de u = 1 où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs E(u,m) sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière f d'ordre fini ρ et s'annulant sur les nombres complexes a_n ≠ 0, il existe un polynôme P(s) de degré inférieur ou égal à ρ, et un entier m < ρ tels que l'on ait [1] - [2] :

${\displaystyle f(s)=s^{p}\exp(P(s))\prod _{n=1}^{\infty }E\left({\frac {s}{a_{n}}},m\right)}$.

Le facteur s^p correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre p en 0.

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre ρ si ρ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur ρ ou la valeur ρ–1 si l'ordre ρ est entier. L'entier m est majoré par ρ. L'un des deux entiers au moins est égal à ρ si l'ordre est entier. Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article « Produit infini ») :

${\displaystyle f(z)=z^{m}\;\mathrm {e} ^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}$, où les u_n sont les zéros de f ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction ϕ(z).

On a en particulier

• ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)\mathrm {e} ^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {2z}{2n-1}}\right)\mathrm {e} ^{2z/(2n-1)}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n-1)^{2}}}\right)}$
• Pour l'inverse de la fonction gamma, on a la formule analogue ${\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;\mathrm {e} ^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;\mathrm {e} ^{-z/n}}$ (formule due à Schlömilch)

Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs :

${\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\ =\ {\frac {|B_{2k}|\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}}$, où les B_2k sont les nombres de Bernoulli.

Notant x_n la solution de l'équation x = tan x comprise entre nπ et nπ + π/2 (pour n entier strictement positif), on peut de même obtenir le développement en produit infini[3] :

${\displaystyle \sin x-x\cos x={\frac {x^{3}}{3}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{x_{n}^{2}}}\right)}$, d'où l'on tire (par identification avec le développement en série de Taylor) le résultat ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}={\frac {1}{10}}}$.