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Processus convexe

Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé. Un processus convexe étend la notion d'application linéaire (dont le graphe est un sous-espace vectoriel), puisqu'un processus convexe univoque est une application linéaire. On peut lui associer une norme.

Cette notion a été introduite par Rockafellar (1967[1] et 1970[2]). Elle intervient, par exemple, dans la généralisation du théorème des fonctions implicites aux multifonctions.

Connaissances supposées : les bases de l'analyse multifonctionnelle et de l'analyse convexe.

Définitions et exemple

Définitions

Soient et deux espaces vectoriels réels. Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé[2] (il s'agit donc d'une multifonction convexe particulière). Il revient au même de dire (et il sera parfois plus simple de vérifier) qu'un processus convexe est une multifonction qui satisfait aux propriétés suivantes :

  • pour tout , , on a ,
  • pour tout et pour tout , on a ,
  • .

On dit qu'un processus convexe est fermé si son graphe est fermé dans l'espace produit

Rappels d'analyse multifonctionnelle

Rappelons quelques notions liées à une multifonction qui nous serons utiles.

  • Le domaine de est défini et noté par ; c'est la projection canonique de sur .
  • L'image de est définie et notée par ; c'est la projection canonique de sur .
  • La fonction réciproque de est la multifonction définie par . Dès lors si, et seulement si, .
  • On dit que est semi-continue inférieurement en relativement à une partie contenant , si pour tout ouvert de tel que , il existe un ouvert de (muni de sa topologie induite de celle de ) contenant tel que, pour tout , on a .
  • On dit que est ouverte en , si pour tout ouvert de contenant 0, est un voisinage de 0 dans (muni de la topologie induite de celle de ).

Exemple

Voici un exemple instructif de processus convexe : , et est défini en par

et sont des applications linéaires. On voit que le processus convexe réciproque a pour valeur en :

Dès lors, donne l'ensemble des solutions d'un certain système d'inégalités linéaires, dont une partie des inégalités est perturbée par le vecteur .

Propriétés immédiates

Pour un processus convexe , on a[2]

  • pour tout convexe , est convexe dans (parce que est une multifonction convexe),
  • est un cône convexe pointé,
  • est un cône convexe et pour tout ,
  • est un processus convexe,
  • pour tout ,
  • un processus convexe univoque est une application linéaire.

Norme

On suppose dans cette section que et sont des espaces normés.

On peut définir la norme d'un processus convexe par[3]

Contrairement aux applications linéaires, la norme d'un processus convexe entre espaces de dimension finie n'est pas nécessairement finie, même s'il est fermé. Par exemple[3], la multifonction définie en par

est un processus convexe fermé et son application réciproque prend en la valeur

Cependant , car si , avec , on a

Norme finie[3] Soit un processus convexe. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. ,
  2. est semi-continue inférieurement en 0, relativement à ,
  3. est ouverte en 0.

Annexes

Notes

  1. Rockafellar (1967).
  2. Rockafellar (1970), chapitre 39.
  3. S.M. Robinson (1972).

Article connexe

Bibliographie

  • (en) S.M. Robinson (1972). Normed convex processes. Translations of the American Mathematical Society, 174, 127-140.
  • (en) R.T. Rockafellar (1967). Monotone processes of convex and concave type. Memoirs of the American Mathematical Society, 77. American Mathematical Society, Providence, R.I., USA.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.


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