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Théorème de sélection de Michael

En mathématiques, le théorème de sélection de Michael, est un théorème d'analyse fonctionnelle démontré en 1956 par Ernest Michael (en)[1] - [2]. Il s'énonce comme suit :

Si X est un espace paracompact alors, toute multifonction hémicontinue inférieurement Γ, de X dans un espace de Banach E et à valeurs des convexes fermées non vides, possède une « sélection » continue, c'est-à-dire qu'il existe une application continue f : X → E telle que pour tout x de X, f(x) appartienne à Γ(x).

Michael a aussi démontré la réciproque, si bien que cette propriété caractérise les espaces paracompacts (parmi les espaces séparés).

Démonstration

Soit d la distance associée à la norme sur E. On construit par récurrence une suite de fonctions continues fn vérifiant, pour tout entier naturel n et tout x dans X : d(fn(x), Γ(x)) < 2–n et d(fn+1(x), fn(x)) < 3.2–n–1. Le lemme ci-dessous permet en effet de construire une fonction f0 à distance constamment < 1 de φ0 := Γ puis, pour tout n > 0, une fonction fn à distance constamment < 2–n de φn := Γ∩B(fn–1, 2–n+1). La limite uniforme des fn constitue alors une sélection continue pour Γ.

Lemme — Soient X un espace paracompact, V un espace vectoriel normé et φ : X → V une multifonction hémicontinue inférieurement, à valeurs convexes non vides. Pour tout r > 0, la multifonction B(φ, r) : x ↦ { y∈Y | d(y, φ(x)) < r } possède une sélection continue.

Ce lemme est un cas particulier du théorème suivant.

Théorème de sélection de Browder

Théorème[3] — Soient X un espace paracompact et Y un espace vectoriel topologique. Toute multifonction ψ : X → Y à valeurs convexes non vides et à valeurs inverses ouvertes possède une sélection continue.

Démonstration

Pour tout vecteur y de Y, notons Uy la valeur inverse de ψ en y, c'est-à-dire l'ouvert (éventuellement vide) des x tels que y ∈ ψ(x). Soit (gy)y∈Y une partition de l'unité localement finie subordonnée au recouvrement de X par les Uy. Alors, la fonction

est une sélection continue de ψ.

Théorème de Bartle-Graves

Un corollaire du théorème de sélection de Michael est le théorème de Bartle-Graves[4] :

Théorème — Toute surjection linéaire continue d'un espace de Banach dans un autre possède une section continue[5].

Notes et références
  1. (en) E. Michael, « Continuous selections. I », Ann. Math., 2e série, vol. 63, no 2,‎ , p. 361-382 (lire en ligne).
  2. (en) E. Michael, « Selected Selection Theorems », Amer. Math. Monthly, vol. 63, no 4,‎ , p. 233-238 (lire en ligne).
  3. (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1994), 704 p. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), chap. 17.11 (« Continuous selectors »), p. 587 supposent inutilement que Y est séparé.
  4. (en) Ward Cheney (en), Analysis for Applied Mathematics, Springer, coll. « GTM » (no 208), , 448 p. (ISBN 978-0-387-95279-6, lire en ligne), p. 342.
  5. Mais pas nécessairement linéaire : cf. Supplémentaire topologique.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Heikki Junnila, A Second Course in General Topology, 2007-8/2014, chap. III, § 3 : Partitions of unity et § 4 : Continuous selections

Bibliographie
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