Théorème de sélection approchée

Soient E un compact de ℝ^m et Γ une multifonction hémicontinue supérieurement de E dans ℝ^k, à valeurs compactes convexes non vides. On peut utiliser le théorème de Carathéodory pour prouver[1] - [2] que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que le graphe de la multifonction Γ_δ suivante soit inclus dans le ε-voisinage de celui de Γ :

${\displaystyle \Gamma _{\delta }(x)={\rm {Co}}\left(\cup _{d(x,z)<\delta }\Gamma (z)\right),}$

où Co( ) désigne l'enveloppe convexe.

De plus, Γ_δ est hémicontinue inférieurement[2]. On peut donc lui appliquer le théorème de sélection de Michael et en déduire une fonction continue dont le graphe est, lui aussi, ε-proche de celui de Γ, ou plus simplement, utiliser le même lemme que ce théorème et en déduire une fonction continue dont le graphe est 2ε-proche de celui de Γ.

Plus généralement (en dimension quelconque et sans hypothèses de compacité) :

On peut même supposer que X est seulement paracompact et que Y est un espace vectoriel topologique quelconque. Dans ce contexte, la précision de l'approximation d'un sous-ensemble G de X×Y par un autre, F, ne s'exprime plus en termes d'un ε > 0 mais d'un recouvrement U = (U_i)_i∈I de X et d'un voisinage V de 0 dans Y : on dit que F est une U×V-approximation de G si pour tout point de F, il existe un point de G qui appartient à une même partie du recouvrement (U_i×(y + V))_{i∈I, y∈Y} de X×Y. Le théorème ci-dessus se généralise alors ainsi :

Si X est compact, f peut de plus être choisie à valeurs dans un sous-espace vectoriel de dimension finie de Y.

Par hémicontinuité, pour tout point x de X, il existe un ouvert U(x), contenant x et inclus dans l'un des U_i du recouvrement U, tel que pour tout z de cet ouvert, Γ(z) ⊂ Γ(x) + V.

Par paracompacité, il existe une partition de l'unité (localement finie) — ou même finie si X est compact — (ϕ_j)_j∈J telle que pour tout z, les supports des ϕ_j qui contiennent z sont tous inclus dans un même U(x).

En choisissant, pour tout j, un x_j dans le support de ϕ_j puis un y_j dans Γ(x_j), la fonction suivante est une solution :

${\displaystyle f(z)=\sum _{j\in J}\phi _{j}(z)y_{j}.}$