Théorème de Carathéodory (géométrie)

Préparons d'abord le terrain pour la preuve en envisageant la situation suivante : soit ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n+1})}$ un ${\displaystyle n+1}$-uplet de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ayant pour enveloppe affine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tout entier, et positionné de telle sorte que ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n+1}=0}$. Pour chaque indice ${\displaystyle i}$ entre ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle n+1}$, notons ${\displaystyle C_{i}}$ l'ensemble des points ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ qui peuvent s'écrire ${\displaystyle x=\alpha _{1}y_{1}+\cdots +\alpha _{i-1}y_{i-1}+\alpha _{i+1}y_{i+1}+\cdots +\alpha _{n+1}y_{n+1}}$ avec des coordonnées ${\displaystyle \alpha _{k}}$ toutes strictement positives (et pas de terme en ${\displaystyle y_{i}}$).

On vérifie alors aisément les informations suivantes :

• (i) Chaque ${\displaystyle C_{i}}$ est un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• (ii) Tout point de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ peut s'écrire de façon unique comme une combinaison linéaire ${\displaystyle x=\alpha _{1}y_{1}+\cdots +\alpha _{n+1}y_{n+1}}$ à coefficients positifs ou nuls, l'un au moins des coefficients étant nul
• (iii) Pour ${\displaystyle i\not =j}$, ${\displaystyle C_{i}}$ et ${\displaystyle C_{j}}$ sont disjoints.

(Pour la première, on songera que ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{i-1},y_{i+1},\ldots ,y_{n+1})}$ est une base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et qu'on peut donc écrire tout point proche d'un ${\displaystyle \alpha _{1}y_{1}+\cdots +\alpha _{i-1}y_{i-1}+\alpha _{i+1}y_{i+1}+\cdots +\alpha _{n+1}y_{n+1}}$ de ${\displaystyle C_{i}}$ par une formule ayant la même forme dans laquelle les coefficients sont proches des ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ; pour la seconde, on s'assurera d'abord qu'étant donnée une écriture ${\displaystyle x=\alpha _{1}y_{1}+\cdots +\alpha _{n+1}y_{n+1}}$ d'un point de ${\displaystyle R^{n}}$ comme combinaison linéaire des ${\displaystyle y_{i}}$, ses autres écritures comme telles combinaisons linéaires sont exactement les écritures ${\displaystyle x=(\alpha _{1}+\rho )y_{1}+\cdots +(\alpha _{n+1}+\rho )y_{n+1}}$ où ${\displaystyle \rho }$ parcourt ${\displaystyle \mathbb {R} }$, une fois ceci connu, l'ajustement requis des coefficients est atteint pour le seul choix de ${\displaystyle \rho =-\mathrm {Min} _{i}(\alpha _{i})}$ ; la troisième découle immédiatement de la seconde, puisqu'un hypothétique point de ${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}}$ aurait deux écritures différentes vérifiant toutes les conditions ci-dessus).

On peut alors entamer la démonstration proprement dite. Soit un point arbitraire de ${\displaystyle \mathrm {Conv} (A)}$, l'objectif étant de parvenir à l'écrire comme barycentre à coefficients positifs de ${\displaystyle n}$ points de ${\displaystyle A}$ ; quitte à prendre un système de coordonnées approprié sur l'espace affine ambiant, on peut supposer que celui-ci est ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et que le point étudié est l'origine. Le théorème de Carathéodory nous fournit déjà une écriture :

${\displaystyle (1)\qquad 0=\lambda _{i}x_{1}+\cdots +\lambda _{n+1}x_{n+1}}$

de ${\displaystyle 0}$ comme combinaison linéaire à coefficients positifs de ${\displaystyle n+1}$ points de ${\displaystyle A}$.

Deux cas dégénérés se traitent sans difficulté : si un au moins des ${\displaystyle \lambda _{i}}$ est nul, on a terminé ; si l'enveloppe affine des ${\displaystyle x_{i}}$ n'est pas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tout entier, en appliquant le théorème de Carathéodory dans cette enveloppe affine on peut diminuer d'au moins un le nombre de ceux-ci dans l'écriture de ${\displaystyle 0}$.

Reste le cas sérieux, celui où les ${\displaystyle x_{i}}$ forment un repère affine de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, tous les coefficients ${\displaystyle \lambda _{i}}$ qui apparaissent dans ${\displaystyle (1)}$ étant strictement positifs. On pose alors pour chaque indice ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle y_{i}=-\lambda _{i}x_{i}}$ : ces points sont positionnés comme sommets d'un simplexe dont le centre de gravité est à l'origine et on peut donc utiliser les ${\displaystyle C_{i}}$ introduits en préliminaires.

Parmi les ${\displaystyle n+1}$ points ${\displaystyle x_{i}}$ de ${\displaystyle A}$, qui a au plus ${\displaystyle n}$ composantes connexes, il est inévitable que deux au moins, disons ${\displaystyle x_{j}}$ et ${\displaystyle x_{k}}$ appartiennent à une même composante connexe ${\displaystyle A_{0}}$ de ${\displaystyle A}$. Cela entraîne que ${\displaystyle A}$ ne peut être inclus dans ${\displaystyle C_{1}\cup \cdots \cup C_{n+1}}$ : si tel était le cas, la division de ${\displaystyle A_{0}}$ en les deux parties ${\displaystyle A_{0}\cap C_{j}}$ et ${\displaystyle A_{0}\cap \left(C_{1}\cup \cdots C_{j-1}\cup C_{j+1}\cup \cdots \cup C_{n+1}\right)}$ découperait ${\displaystyle A_{0}}$ en deux ouverts (dans ${\displaystyle A_{0}}$) disjoints, non vides puisque l'un contient ${\displaystyle x_{j}}$ et l'autre ${\displaystyle x_{k}}$. On a donc ainsi montré que ${\displaystyle A}$ contient au moins un point ${\displaystyle x}$ qui n'est dans aucun des ${\displaystyle C_{i}}$.

Vu d'une part la remarque (i), et vu d'autre part la non-appartenance de ${\displaystyle x}$ aux ${\displaystyle C_{i}}$, c'est donc que ${\displaystyle x}$ peut être écrit comme combinaison linéaire des ${\displaystyle y_{i}}$ à coefficients tous positifs dont deux au moins sont nuls ; quitte à renuméroter les ${\displaystyle x_{i}}$, on supposera pour simplifier l'écriture que ce sont les deux premiers.

On dispose alors, pour ce point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle A}$ d'une écriture :

${\displaystyle x=\beta _{3}y_{3}+\cdots +\beta _{n+1}y_{n+1}}$

dans laquelle tous les ${\displaystyle \beta _{i}}$ sont positifs.

Il ne reste plus qu'à regrouper différemment celle-ci, en allant rechercher la définition des ${\displaystyle y_{i}}$ :

${\displaystyle 0={x+\lambda _{3}\beta _{3}x_{3}+\cdots +\lambda _{n+1}\beta _{n+1}x_{n+1} \over {1+\lambda _{3}\beta _{3}+\cdots +\lambda _{n+1}\beta _{n+1}}}}$

pour obtenir ce qu'on cherchait depuis le début : une écriture de ${\displaystyle 0}$ comme barycentre à coefficients positifs de seulement ${\displaystyle n}$ points de ${\displaystyle A}$.