Théorème de Gordan

Le théorème de Gordan donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans $\mathbb {R}$ . C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».

Théorème de Gordan (1873)[1] — Soit $f_{1},\ldots ,f_{k}$ des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie. Alors :

\{y\in E\,\mid \,f_{1}(y)>0,f_{2}(y)>0,\ldots ,f_{k}(y)>0\}

est vide

(si et) seulement si

0 appartient à l'enveloppe convexe de

\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}

Note

(de) P. A. Gordan, « Ueber die Auflösung linearer Gleichungen mit reellen Coefficienten », Math. Ann., vol. 6,‎ 1873, p. 23-28 (lire en ligne).

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