Espace noethérien

De nombreux exemples d'espaces noethériens proviennent de la géométrie algébrique. Une variété algébrique, munie de la topologie de Zariski, est réunion finie d'ouverts qui sont des variétés algébriques affines. Or les fermés d'une variété algébrique affine V sont en bijection (décroissante) avec les idéaux radiciels de l'anneau O(V) de ses fonctions régulières. La condition de chaîne descendante dans V correspond à la condition de chaîne ascendante dans l'anneau noethérien O(V). Donc V, ainsi que toute variété algébrique, est noethérien. Cette classe d'exemples explique aussi le nom de « noethériens » donné à ces espaces.

Le spectre premier d'un anneau commutatif noethérien est un espace noethérien (mais le spectre premier d'un anneau non noethérien peut être noethérien). Plus généralement, l'espace topologique sous-jacent d'un schéma noethérien est noethérien.

Exemple.

L'espace affine ${\displaystyle k^{n}}$ de dimension ${\displaystyle n}$ sur un corps algébriquement clos ${\displaystyle k}$ est noethérien pour la topologie de Zariski. En effet, si ${\displaystyle (Y_{n})}$ est une suite décroissante de fermés de Zariski de ${\displaystyle k^{n}}$ alors ${\displaystyle (I(Y_{n}))}$ est une suite croissante d'idéaux de k[X₁,…,X_n]. Comme cet anneau est noethérien, cette suite d'idéaux est stationnaire. Or à cause de la bijection entre idéaux radiciels de k[X₁,…,X_n] et fermés de Zariski de ${\displaystyle k^{n}}$, on a ${\displaystyle Z(I(Y_{n}))=Y_{n}}$, donc la suite des ${\displaystyle Y_{n}}$ est stationnaire.

Les espaces noethériens peuvent être utilisés en informatique théorique, plus précisément en vérification formelle, comme généralisation des beaux préordres (en anglais : well-quasi-ordering ou WQO)[2].