Théorème de Tykhonov

Soient ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ une famille de quasi-compacts, X leur produit, et ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ une famille de fermés de X dont toute intersection finie d'éléments est non vide. On notera ${\displaystyle p_{\alpha }}$ la projection de X sur ${\displaystyle X_{\alpha }}$.

Considérons l'ensemble des familles contenant (au sens de l'inclusion) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ et dont les intersections finies d'éléments sont non vides. C'est un ensemble ordonné par l'inclusion et inductif. Il vérifie donc les hypothèses du lemme de Zorn et admet par conséquent un élément maximal ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$.

Soit ${\displaystyle \alpha \in A}$ fixé. Comme l'intersection finie d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ est non vide, c'est aussi le cas de l'intersection finie de projections sur ${\displaystyle X_{\alpha }}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$, donc de l'adhérence de tels éléments ; ainsi la famille ${\displaystyle \left({\overline {p_{\alpha }(F)}}\right)_{F\in {\mathcal {F}}^{*}}}$ vérifie les hypothèses de la propriété de Borel-Lebesgue dans ${\displaystyle X_{\alpha }}$ compact, donc l'ensemble ${\displaystyle \bigcap _{F\in {\mathcal {F}}^{*}}{\overline {p_{\alpha }(F)}}}$ est non vide.

On va alors considérer un élément ${\displaystyle x=(x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ du produit de tous ces ensembles non vides (on utilise donc à nouveau l'axiome du choix) et montrer qu'il est dans l'intersection des éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, qui sera alors non vide, ce qui achèvera la preuve.

On remarque tout d'abord que :

(L1) ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ est stable par intersection finie.

En effet, soit ${\displaystyle F}$ une intersection finie d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$. Alors l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\bigcup \{F\}}$ contient ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ et ses intersections finies font partie de celles de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ donc sont non vides, si bien que (par maximalité de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$) ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\bigcup \{F\}={\mathcal {F}}^{*}}$, c.-à-d. ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}^{*}}$.

Par un argument similaire, on en déduit que

(L2) si un ensemble intersecte tous les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$, alors il appartient à ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$.

Soit V ouvert de ${\displaystyle \prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$ contenant x : il existe ${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\dots ,U_{\alpha _{n}}}$ ouverts respectifs de ${\displaystyle X_{\alpha _{1}},\dots ,X_{\alpha _{n}}}$ tels que l'ouvert élémentaire ${\displaystyle U:=U_{\alpha _{1}}\times \dots \times U_{\alpha _{n}}\times \prod _{\alpha \neq \alpha _{1..n}}X_{\alpha }}$ contienne x et soit inclus dans V.

Alors soit ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, on a ${\displaystyle x_{\alpha _{i}}\in U_{\alpha _{i}}}$, ainsi ${\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}^{*},\,{\overline {p_{\alpha _{i}}(F)}}\bigcap U_{\alpha _{i}}\neq \varnothing }$, or ${\displaystyle U_{\alpha _{i}}}$ ouvert donc ${\displaystyle p_{\alpha _{i}}(F)\bigcap U_{\alpha _{i}}\neq \varnothing }$, donc ${\displaystyle F\bigcap p_{\alpha _{i}}^{-1}(U_{\alpha _{i}})\neq \varnothing }$. Alors par (L2), ${\displaystyle p_{\alpha _{i}}^{-1}(U_{\alpha _{i}})\in {\mathcal {F}}^{*}}$.

Donc par (L1), ${\displaystyle U=\bigcap _{i=1}^{n}p_{\alpha _{i}}^{-1}(U_{\alpha _{i}})\in {\mathcal {F}}^{*}}$, donc U intersecte tous les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$. A fortiori, V intersecte tous les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Ainsi, x est dans l'adhérence de tous les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, qui sont fermés, donc x appartient à tous les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, dont l'intersection est donc non vide, ce qui achève la preuve.