Lemme du tube

• Le lemme du tube équivaut à :Pour tout espace X et tout espace quasi-compact Y, la projection X × Y → X est une application fermée.

• L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple[3] dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < 1/(y² + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.

Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact[1] - [4]. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.

Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini[5].

La preuve[4] de la généralisation suivante[6] est à peine plus compliquée que la preuve directe[1] du lemme du tube.

Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.

Elle permet de montrer[4] que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.