Théorème des milieux

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté[1].

Le théorème peut être représenté graphiquement de la façon ci-dessous :

Soient I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC], alors(IJ) // (BC) et IJ = BC/2.

Le point auxiliaire K fait apparaître deux parallélogrammes : AJBK et KBCJ.

Cette propriété se démontre[2] sans que soit connue la définition d'un vecteur. Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).

Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et IJ = KJ/2.

Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme.

Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].

KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).

Or si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Donc KBCJ est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).

Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : IJ = BC/2.

Lorsque la notion de vecteur est déjà connue — par exemple, dans le cas d'un espace affine euclidien associé à un espace vectoriel — il existe une démonstration vectorielle beaucoup plus courte.

Puisque I est milieu de (A,B) et J est milieu de (A,C), on a

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=2{\overrightarrow {AI}}{\text{ et }}{\overrightarrow {AC}}=2{\overrightarrow {AJ}}}$, d'où

${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}=2\left({\overrightarrow {AJ}}-{\overrightarrow {AI}}\right)=2{\overrightarrow {IJ}}}$.

Les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {IJ}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ sont colinéaires donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

La norme de ${\displaystyle {\overrightarrow {IJ}}}$ est égale à la moitié de celle de ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$, autrement dit la distance IJ est égale à BC/2.

On peut dissimuler la relation de Chasles utilisée ci-dessus, en assimilant l'espace affine à son espace vectoriel associé via le choix de A comme origine[3]. Les équations précédentes s'écrivent alors : B = 2I et C = 2J, d'où C – B = 2(J – I).