Théorème de Neuberg

En mathématiques, le théorème de Neuberg est un résultat de géométrie du triangle.

Formulation de l'énoncé

Illustration du théorème de Neuberg

Soit un triangle ABC.

Soit O_A le centre du carré extérieur ayant comme côté BC. On construit de façon similaire les points O_B et O_C.

On construit ensuite M_A, le centre du carré intérieur ayant comme côté O_BO_C. On construit ainsi M_B et M_C. Alors les points M_A, M_B et M_C sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Démonstration

En effet, si l'on appelle A' le symétrique de A par rapport à O_B et B' le symétrique de B par rapport à O_A, la rotation de centre C et d'angle $π /2$ envoie A et B' en A' et B. Les segments [AB'] et [B'A] sont donc de même longueur et perpendiculaires. Or la droite (M_CO_B) est la droite des milieux dans le triangle ABA' et il en est de même de la droite (M_CO_A) dans le triangle BAB'. On a donc bien les segment [M_CO_B] et [M_CO_A] également de même longueur et perpendiculaires. M_C est bien centre d'un carré s'appuyant sur [O_AO_C]. Et il en est de même des autres milieux.

Voir aussi

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