Théorème de van Aubel

Configuration de vanAubel

Configuration de van Aubel dans un quadrilatère convexe et un quadrilatère croisé.

Dans un quadrilatère convexe, on trace, à l'extérieur du quadrilatère 4 carrés s'appuyant sur les côtés de celui-ci. Le théorème stipule que les segments [PR] et [QS], qui joignent les centres des carrés opposés, sont orthogonaux et de même longueur, autrement dit que le quadrilatère PQRS est un pseudo-carré : diagonales orthogonales de même longueur.

Le théorème de Thébault permet de dire que le quadrilatère de départ est un parallélogramme si et seulement si le pseudo-carré PQRS est un vrai carré.

Notons que les centres des carrés peuvent être aussi construits comme sommets de quatre triangles rectangles isocèles d'angles de base de mesure 45° à l'extérieur du quadrilatère.

Il existe plusieurs démonstrations[3] possibles de ce théorème.

• l'une utilise les nombres complexes et consiste à écrire les affixes des points P, Q, R et S en fonction des affixes a, b, c et d des points A, B, C et D[4].
• une autre consiste à travailler sur des rotations vectorielles[5]
• une troisième enfin consiste à utiliser le théorème de Neuberg et le fait que les points Q et S sont les images des points P et R par une rotation de centre I milieu de [BD] et d'angle droit[6].

La propriété se généralise à tout quadrilatère ABCD, même croisé, à condition que les carrés ABEF, BCGH, CDJK et DALM soient de même orientation.

Un triangle et trois céviennes concourantes

Dans un triangle (ABC), on considère un point P intérieur au triangle et on note A', B' et C' les pieds des céviennes issues de A, B et C et passant par P. Le théorème de van Aubel stipule que[7] - [8]

${\displaystyle {\frac {PA}{PA'}}={\frac {B'A}{B'C}}+{\frac {C'A}{C'B}}}$

Une démonstration possible de ce théorème consiste à remarquer des égalités entre rapports d'aire et rapports de longueur. Ainsi

${\displaystyle {\frac {PA}{PA'}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}+{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}+{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}+{\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}}$

${\displaystyle {\frac {B'A}{B'C}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}-{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}-{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}}$

${\displaystyle {\frac {C'A}{C'B}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}-{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}-{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PCB}}}}$

Une autre démonstration, utilisant les barycentres, permet de généraliser la propriété à tout point P du plan non situé sur le triangle et tel que les droites (PA), (PB) et (PC) rencontrent (BC), (CA) et (AB) respectivement en A', B' et C' . Le point P est alors le barycentre des points A, B et C affectés de trois réels a, b et c tels que a, b, c, a + b, b + c , c + a et a + b +c sont tous non nuls. Alors B' est barycentre de A et C affectés des coefficients a et c, C' est barycentre de A et B affectés des coefficients a et b et P est barycentre de A et A' affectés des coefficients a et b+c. Les relations entre mesures algébriques et coefficients des barycentres permettent d'écrire que

${\displaystyle {\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}=-{\frac {b+c}{a}}\quad {\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}=-{\frac {c}{a}}\quad {\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}=-{\frac {b}{a}}}$

Ce qui conduit à l'égalité :

${\displaystyle {\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}={\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}+{\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}}$

Le théorème de Napoléon, concernant les centres des triangles équilatéraux construits autour d'un triangle.