Théorème de Stewart

Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires[3].

Notons ${\displaystyle H}$ le projeté de ${\displaystyle M}$ sur la droite portant ${\displaystyle A,B,C}$.

En utilisant le produit scalaire, on obtient :

${\displaystyle {MA}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CA}})^{2}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CA}}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CA}}\,(1)}$${\displaystyle {MB}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CB}})^{2}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CB}}\,(2)}$

Multiplier (1) par ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ et (2) par ${\displaystyle {\overline {CA}}}$ et ajouter permet d'éliminer ${\displaystyle {\overline {HC}}}$ :

${\displaystyle {MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}({\overline {BC}}+{\overline {CA}})+{\overline {CA}}^{2}{\overline {BC}}+{\overline {CB}}^{2}{\overline {CA}}}$, soit

${\displaystyle {MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}({\overline {CB}}-{\overline {CA}})=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}$

D'où la relation demandée.

Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}}}$ s'écrit

${\displaystyle {\overline {BC}}.{\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}.{\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}.{\overrightarrow {MC}}={\overrightarrow {0}}}$.

En effet la fonction ${\displaystyle M\mapsto {\overline {BC}}.{\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}.{\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}.{\overrightarrow {MC}}}$ est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant ${\displaystyle M=A}$, on obtient que la constante est nulle.

Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée ${\displaystyle M\mapsto {\overline {BC}}.{MA}^{2}+{\overline {CA}}.{MB}^{2}\cdot +{\overline {AB}}.{MC}^{2}}$ est constante elle aussi. En faisant ${\displaystyle M=A}$, on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart [6].

Dans un repère orthonormé d'origine H, le premier vecteur de la base dirigeant la droite (ABC) , les points ont pour coordonnées : ${\displaystyle A(a,0),B(b,0),C(c,0),M(0,h)}$[4].

La relation de Stewart s'écrit alors ${\displaystyle (h^{2}+a^{2})(c-b)+(h^{2}+b^{2})(a-c)+(h^{2}+c^{2})(b-a)+(b-a)(a-c)(c-b)=0}$ qui se démontre par développement.

Le carré du volume du tétraèdre ${\displaystyle MABC}$ est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger, à[7]:

${\displaystyle V^{2}=-1/288{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&{\overline {AB}}^{2}&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {AM}}^{2}\\1&{\overline {AB}}^{2}&0&{\overline {BC}}^{2}&{\overline {BM}}^{2}\\1&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {BC}}^{2}&0&{\overline {CM}}^{2}\\1&{\overline {AM}}^{2}&{BM}^{2}&{\overline {CM}}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

Si l'on remplace ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ par ${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$, on obtient ${\displaystyle V^{2}=1/144(MA^{2}.{\overline {BC}}+MB^{2}\cdot {\overline {BA}}+MB^{2}\cdot {\overline {CB}}+MC^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {BC}}^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {AB}}^{2}\cdot {\overline {CB}})^{2}}$, soit ${\displaystyle V^{2}=1/144({MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}+{MC}^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}})^{2}}$. Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.

Théorème —

Soit d la longueur du segment [AD] d'une cévienne d'un triangle ABC divisant le côté [BC] en deux parties de longueurs x et y. On a alors la "relation de Stewart" :

${\displaystyle a\cdot (xy+d^{2})=x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}}$

Écrite sous la forme ${\displaystyle d^{2}={\frac {xb^{2}+yc^{2}}{a}}-xy}$, elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne.

• Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.

• On peut aussi la démontrer en écrivant que ${\displaystyle \cos({\widehat {BDA}})=-\cos({\widehat {CDA)}}}$ exprimés par le théorème d'Al-Kashi [8].

• On peut utiliser la formule de réduction de la fonction scalaire de Leibniz pour un barycentre de deux points[9].

En effet, le pied D de la cévienne est le barycentre de B et C affectés des coefficients y et x. La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est ${\displaystyle f(M)=xMC^{2}+yMB^{2}}$ avec ${\displaystyle x+y=a}$. La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en A en utilisant le barycentre D s'écrit : ${\displaystyle f(A)=f(X)+aAX^{2}.}$ Or ${\displaystyle f(A)=xb^{2}+yc^{2}}$ et ${\displaystyle f(X)=xy^{2}+yx^{2}=axy}$, d'où la relation.

Si la cévienne est une médiane, ${\displaystyle x=y=a/2}$ et l'on retrouve la formule de la médiane : ${\displaystyle d^{2}={\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}-{a^{2} \over 4}}$.

Si la cévienne est une bissectrice, d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle, ${\displaystyle x={\frac {ac}{b+c}},y={\frac {ab}{b+c}}}$, et ${\displaystyle d^{2}={\frac {4bc(p-a)p}{(b+c)^{2}}}}$ où p est le demi-périmètre [8] - [6].

Si la cévienne est une hauteur, l'élimination de x et y entre la relation de Stewart ${\displaystyle a.d^{2}=xb^{2}+yc^{2}-axy}$, et les relations ${\displaystyle c^{2}=d^{2}+x^{2}}$ et ${\displaystyle c^{2}=d^{2}+x^{2}}$ permet d'obtenir la formule : ${\displaystyle d={\frac {1}{2a}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}={\frac {2}{a}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Sachant ${\displaystyle d=2S/a}$, on retrouve la formule de Héron donnant l'aire S du triangle.

${\displaystyle d^{2}=p(p-a)}$.