Théorème de Holditch

L’aire d’une couronne circulaire dont on connait la longueur ${\displaystyle \ell }$ d’une corde tangente au cercle intérieur vaut ${\displaystyle \pi \ell ^{2}/4}$, ceci quel que soit le rayon du cercle extérieur.

Si la courbe de départ est un carré de côté de longueur ${\displaystyle a+b}$ (voir l'illustration ci-dessus), d'après la construction de l'ellipse par la méthode de la bande de papier, la courbe de Holditch est formée de 4 quarts d'ellipses de demi-axes ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. Le domaine de Holditch est donc formé de 4 quarts de domaines elliptiques ; par le théorème de Holditch, on retrouve bien la formule classique ${\displaystyle \pi ab}$ de l'aire de l'ellipse.

Une droite orientée se déplace dans le plan en revenant à son point de départ en ayant tourné ${\displaystyle n}$ fois sur elle-même (${\displaystyle n}$ algébrique, suivant le sens de rotation). Trois points fixes ${\displaystyle A,B,C}$ sur cette droite décrivent trois courbes fermées, supposées toujours simples, mais non forcément convexes, ${\displaystyle C_{A}}$, ${\displaystyle C_{B}}$ , ${\displaystyle C_{C}}$ . On note ${\displaystyle S_{A},S_{B},S_{C}}$ les aires algébriques (positives en cas de parcours dans le sens trigonométrique, négatives sinon) des domaines délimités par les courbes ${\displaystyle C_{A},C_{B},C_{C}}$ . On a alors la relation de Holditch générale[3] - [4] :

${\displaystyle S_{A}.{\overline {BC}}+S_{B}.{\overline {CA}}+S_{C}.{\overline {AB}}+n\pi .{\overline {AB}}.{\overline {BC}}.{\overline {CA}}=0}$.

Posant ${\displaystyle {\overline {AC}}=a}$ et ${\displaystyle {\overline {CB}}=b}$, la relation s'écrit aussi ${\displaystyle S_{C}={\frac {bS_{A}+aS_{B}}{a+b}}-n\pi ab}$.

On retrouve bien le théorème de Holditch dans le cas où les courbes ${\displaystyle C_{A}}$ et ${\displaystyle C_{B}}$ sont identiques et ${\displaystyle n=1}$. La relation précédente s'écrit alors en effet ${\displaystyle S_{C}=S_{A}-\pi ab}$ , ce qui donne bien la relation de Holditch.

Cette démonstration est tirée de [3].

On suppose ici les fonctions de classe ${\displaystyle C^{1}}$ par morceaux.

Un repère polaire ${\displaystyle (O,{\overrightarrow {i}})}$ étant choisi, désignons par ${\displaystyle \theta =\theta (t)}$ l'angle entre ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}}$et la droite orientée ${\displaystyle (ABC)}$.

Posant ${\displaystyle {\overline {AC}}=a}$ , ${\displaystyle {\overline {CB}}=b}$ et ${\displaystyle (x,y)}$ les coordonnées de ${\displaystyle C}$, les coordonnées de ${\displaystyle A}$ sont ${\displaystyle (x_{1}=x-a\cos \theta ,y_{1}=y-a\sin \theta )}$, celles de ${\displaystyle B}$ sont ${\displaystyle (x_{2}=x+b\cos \theta ,y_{2}=y+b\sin \theta )}$.

On obtient ${\displaystyle x_{1}dy_{1}=(x-a\cos \theta )(dy-a\cos \theta d\theta ),x_{2}dy_{2}=(x+b\cos \theta )(dy+b\cos \theta d\theta )}$, d'où ${\displaystyle bx_{1}dy_{1}+ax_{2}dy_{2}=(a+b)(xdy+ab\cos ^{2}\theta d\theta )}$.

Le mouvement s'effectuant entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle T}$, on obtient ${\displaystyle b\int _{0}^{T}x_{1}dy_{1}+a\int _{0}^{T}x_{2}dy_{2}=(a+b){\Biggl (}\int _{0}^{T}xdy+ab\int _{0}^{2n\pi }cos^{2}\theta d\theta {\Biggl )}}$, ce qui donne ${\displaystyle {bS_{A}+aS_{B}}=(a+b)(S_{C}+n\pi ab)}$ , soit ${\displaystyle S_{C}={\frac {bS_{A}+aS_{B}}{a+b}}-n\pi ab}$.

Une élégante démonstration vectorielle se trouve dans [5].

• 
  Construction de l'ellipse par la méthode de la bande de papier.

Lorsque les points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ décrivent deux segments en croix, le point ${\displaystyle C}$ décrit l'ellipse de paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ (voir animation ci-dessus). L'ellipse est parcourue dans le sens trigonométrique donc l'aire ${\displaystyle S_{C}}$ est positive, mais le segment tourne dans l'autre sens, donc ${\displaystyle n=-1}$. Les deux autres aires sont nulles, on retrouve ${\displaystyle S_{C}=\pi ab}$.

On fait tourner la droite d'un tour autour d'un point ${\displaystyle M}$ du plan ; les courbes ${\displaystyle C_{A},C_{B},C_{C}}$ sont des cercles de centre Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): M , et la relation générale de Holditch divisée par ${\displaystyle \pi }$ donne celle de Stewart : ${\displaystyle {MA}^{2}.{\overline {BC}}+{MB}^{2}.{\overline {CA}}+{MC}^{2}.{\overline {AB}}+{\overline {AB}}.{\overline {BC}}.{\overline {CA}}=0}$.

L'aire balayée par un segment ${\displaystyle [AC]}$ de longueur constante ${\displaystyle a}$ restant tangent en ${\displaystyle A}$ à la courbe fermée simple décrite par ${\displaystyle A}$ vaut ${\displaystyle \pi a^{2}}$.

Le théorème de Mamikon proprement dit s'occupe du cas plus général où le segment n'est plus forcément de longueur constante et où la courbe est quelconque.

Notons que Holditch utilise cette propriété, qu'il doit considérer comme évidente, dans sa démonstration [4] - [1].

On part de la relation de Holditch ${\displaystyle S_{A}.{\overline {BC}}+S_{B}.{\overline {CA}}+S_{C}.{\overline {AB}}+n\pi .{\overline {AB}}.{\overline {BC}}.{\overline {CA}}=0}$ en posant ${\displaystyle {\overline {AC}}=a}$ et ${\displaystyle {\overline {BC}}=b}$ ; on obtient alors ${\displaystyle S_{C}={\frac {aS_{B}-bS_{A}}{a-b}}+n\pi ab}$ ; si on suppose que ${\displaystyle B}$ décrit la même courbe que ${\displaystyle A}$ et comme ${\displaystyle n=1}$ car on ne fait qu'un tour, on obtient ${\displaystyle S_{C}=S_{A}+\pi ab}$ . Si maintenant l'on fait tendre ${\displaystyle b}$ vers ${\displaystyle a}$, alors ${\displaystyle B}$ tend vers ${\displaystyle A}$ en restant sur la courbe décrite par ${\displaystyle A}$, et le segment ${\displaystyle [AC]}$ devient tangent à cette courbe ; on obtient ${\displaystyle S_{C}-S_{A}=\pi a^{2}}$, ce que nous voulions.

La courbe décrite par le point ${\displaystyle C}$ est une courbe équitangentielle de celle décrite par ${\displaystyle A}$. Lorsqu'on impose que cette dernière soit rectiligne, la courbe de départ est la tractrice. Pour obtenir une courbe "fermée" on ajoute la symétrique de la tractrice par rapport à son asymptote et l'aire ainsi formée vaut ${\displaystyle \pi a^{2}}$ d'après ce qui précède. L'aire entre la tractrice et son asymptote vaut donc ${\displaystyle \pi a^{2}/2}$.

Un disque de rayon ${\displaystyle R}$ roule extérieurement, dans le sens trigonométrique, sur un disque de rayon ${\displaystyle nR}$ ; le segment ${\displaystyle [AB]}$ considéré ici est un segment lié au disque roulant centré sur le centre de ce disque et de longueur ${\displaystyle 2l}$, et on prend ${\displaystyle a=b=l}$, de sorte que le point ${\displaystyle C}$ est le centre du disque mobile. Il est classique que le disque effectue alors ${\displaystyle n+1}$ tours autour du disque fixe pour revenir à son point de départ. De plus les points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ décrivent deux épitrochoïdes identiques à rotation près, donc on peut poser ${\displaystyle S_{A}=S_{B}=S}$.

La relation générale de Holditch s'écrit donc ${\displaystyle \pi (n+1)^{2}R^{2}={\frac {2lS}{2l}}-(n+1)\pi l^{2}}$, ce qui donne ${\displaystyle S=\pi (n+1)((n+1)R^{2}+l^{2})}$.

De la même façon pour une hypotrochoïde, on obtient : ${\displaystyle S=\pi (n-1)((n-1)R^{2}+l^{2})}$.

Ces formules permettent d'obtenir l'aire de la cardioïde ou de l'astroïde par exemple.

Cette fois le disque roule sur une droite. Après avoir effectué un tour on le ramène au point de départ par mouvement rectiligne. Tous raisonnements faits, la relation de Holditch donne ${\displaystyle 0={\frac {lS-l(4\pi Rl-S)}{2l}}-\pi l^{2}}$ où ${\displaystyle S}$ est l'aire d'une arche limitée par la base. On obtient ${\displaystyle S=\pi l(2R+l)}$. Le cas ${\displaystyle l=R}$ donne l'aire ${\displaystyle 3\pi R^{2}}$ de l'arche de cycloïde.

Dans cet exemple, le point traceur est situé au quart de la bielle, donc l'aire délimitée par la courbe rouge vaut un quart de celle du disque.

Ici le point ${\displaystyle A}$ décrit un cercle de rayon ${\displaystyle R}$ et le point ${\displaystyle B}$ a un mouvement rectiligne. Le segment ${\displaystyle [AB]}$ n'effectue pas de tour sur lui-même, donc ${\displaystyle n=0}$ et l'aire ${\displaystyle S_{B}}$ est nulle. On obtient ${\displaystyle S_{C}={\frac {b}{a+b}}\pi R^{2}}$ ; il est remarquable que cette aire ne dépend que de la dimension du cercle et de la position du point traceur sur la bielle, pas de la longueur de celle-ci.

Voir à courbe de la bielle de Bérard.

D'une part, la relation de Holditch se démontre simplement à partir de celle de Stewart dans ce cas :

D'autre part, les trois courbes décrites par ${\displaystyle A,B,C}$ sont des conchoïdes de pôle ${\displaystyle O}$ les unes par rapport aux autres.

En particulier si ${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {CB}}=a}$, Les courbes ${\displaystyle C_{A}}$ et ${\displaystyle C_{B}}$ sont des conchoïdes de ${\displaystyle C_{C}}$ de modules respectifs ${\displaystyle -a}$ et ${\displaystyle a}$, et la relation de Holditch s'écrit : ${\displaystyle S_{A}+S_{B}=2(S_{C}+n\pi a^{2})}$.

Dans les exemples ci-dessous, ${\displaystyle C_{C}}$ est un cercle de rayon ${\displaystyle R}$.

• 
  L'aire de la grande conchoïde est égale à celle de la petite plus deux fois celle du disque.
• 
  La moyenne des aires des conchoïdes est égale à celle du disque plus ${\displaystyle \pi a^{2}}$.
• 
  L'aire de la conchoïde est égale au double de celle du disque plus ${\displaystyle \pi a^{2}}$

Dans la première illustration ci-dessus où le pôle est à l'extérieur du cercle ${\displaystyle C_{C}}$, ${\displaystyle S_{B}-|S_{A}|=2\pi R^{2}}$ car la droite n'effectue pas de tour sur elle-même et ${\displaystyle C_{A}}$ est parcouru en sens contraire du trigonométrique.

Dans la deuxième illustration où le pôle est à l'intérieur du cercle, ${\displaystyle S_{B}+S_{A}=2\pi (R^{2}+a^{2})}$ car la droite effectue un tour et ${\displaystyle C_{A},C_{B}}$ sont parcourues dans le sens trigonométrique.

Dans la troisième illustration, le pôle est sur le cercle, et les deux courbes ${\displaystyle C_{A},C_{B}}$ sont identiques, mais le cercle est parcouru deux fois quand la droite ${\displaystyle (ABC)}$ fait un tour. On obtient donc ${\displaystyle S_{A}=S_{B}=2\pi R^{2}+\pi a^{2}}$. La conchoïde est dans ce cas un limaçon de Pascal.

• B. Williamson, FRS, An elementary treatise on the integral calculus : 8ème édition 1906 pp. 206-211
• M.A. Hacar Benitez, Numerosas aplicaciones de un teorema olvidado de geometria, Rev. Obras Publicas 127 (1980) 415–428.
• W. Bender, The Holditch curve tracer, Mathematics Magazine, (mars 1981)
• E. Kilic et S. Keles, On Holditch's Theorem and Polar Inertia Momentum, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A, 43 (1994), 41-47.
• M.J. Cooker, An Extension of Holditch's Theorem on the Area within a Closed Curve, Math. Gaz., 82 (1998), 183-188.
• M.J. Cooker, On Sweeping out an Area, Math. Gaz., 83 (1999), 69–73.
• J.P. Truc, le théorème de Holditch, Quadrature N°75, (2010), p. 10-18.
• T.M. Apostol, M.A. Mnatsakanian, New Horizons in Geometry. ,Math. Assoc. Amer., Washington, DC, (2013), Section 9.13
• J. Monterde, D. Rochera, Holditch's Ellipse Unveiled, the American Mathematical Monthly, Vol. 124, No. 5 (Mai 2017), pp. 403-421

• Article de MathWorld
• Animation des courbes de Holditch dans une ellipse
• Page sur les courbes de Holditch dans MathCurve