Système bielle-manivelle

Modélisation du problème statique.

Dans cette étude, on adopte les conventions suivantes :

• Force extérieure ${\displaystyle {\vec {F}}_{e}}$ appliquée sur et suivant la direction de l'axe du piston. L'intensité de ${\displaystyle \|{\vec {F}}_{e}\|=F_{e}}$ est supposée connue ;
• Couple ${\displaystyle C_{m}}$ appliquée à la manivelle (${\displaystyle C_{m}}$ colinéaire à l'axe de la manivelle).

Le problème statique${\displaystyle C_{m}=f({\vec {F}}_{e})}$ peut être résolu à l'aide de torseurs mais la symétrie du système permet une résolution graphique. On isole successivement la bielle, le piston et la manivelle et on applique les lois d'équilibre mécaniques :

• l'équilibre de la bielle montre que les actions ${\displaystyle {\vec {F}}_{a}}$ et ${\displaystyle {\vec {F}}_{b}}$ transmises en A et B ont une direction colinéaire à la direction principale de la bielle, leurs sens opposés et ont même intensité ${\displaystyle \|{\vec {F}}_{a}\|=\|{\vec {F}}_{b}\|}$;
• l'équilibre du piston sous les 3 actions (${\displaystyle {\vec {F}}_{e},{\vec {F}}frottement,{\vec {F}}_{b}}$) permet de donner la relation entre l'intensité de l'action au point B : ${\displaystyle \|{\vec {F}}_{b}\|}$et ${\displaystyle F_{e}}$;
• l'équilibre de la manivelle sous 3 actions (2 articulations et un couple) donne finalement la valeur du couple ${\displaystyle C_{m}}$ en fonction de ${\displaystyle F_{e}}$.

L'étude ${\displaystyle F_{e}=f(C_{m})}$ est menée de la même manière en inversant simplement les deux dernières étapes.

Couple de la manivelle pour une force constante sur le piston.

En considérant que le système est de rendement 1, que la manivelle tourne à vitesse constante, et que les inerties sont négligeables, on établit une relation simplifiée donnant ${\displaystyle C_{m}}$ en fonction de ${\displaystyle F_{e}}$, à partir de l'égalité des puissances consommée et fournie (${\displaystyle F_{e}.V=C_{m}.\omega }$) :

${\displaystyle C_{m}=F_{e}.R\cos \theta \left(1+{\frac {R\sin \theta }{\sqrt {L^{2}-R^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

Analyse :

• Lorsque L est suffisamment grand, le deuxième terme devient négligeable et la fonction est quasi périodique.
• Les maximums ont lieu aux environs des positions 180° et 360° mais pas exactement. Le décalage est d'autant plus grand que la bielle est courte.
• Quelle que soit la longueur de la bielle, nous avons un couple nul aux points morts haut et bas. Ici, l'action de F est sans effet sur la rotation (de même sur un pédalier de vélo l'action de la jambe n'a pas d'effet lorsque la pédale est à la verticale de l'axe). En pratique, on compense ce défaut par un volant d'inertie.

En remplaçant avec (2) et (3) dans (4), il vient : ${\displaystyle \textstyle x-r.sin\theta ={\sqrt {l^{2}-r^{2}\cos ^{2}\theta }}}$
d'où ${\displaystyle \ \displaystyle x=r(sin\theta +{\sqrt {\lambda ^{2}-cos^{2}\theta }})}$

Notons ${\displaystyle d}$ le décalage entre les axes et définissons ${\displaystyle \epsilon }$ tel que :

${\displaystyle \ d=\epsilon .r}$

Les relations écrites plus haut restent inchangées à l’exception de (2) qui devient :

${\displaystyle \textstyle HA=r.\cos \theta +d=r(\cos \theta +\epsilon )}$

En remplaçant (2) dans (4) nous obtenons :

${\displaystyle \displaystyle x=r(\sin \theta +{\sqrt {\lambda ^{2}-(\cos \theta +\epsilon )^{2}}})}$

La vitesse en fonction de ${\displaystyle \theta }$ s'obtient en dérivant la relation obtenue plus haut : ${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{d\theta }}\\&=&r\cos \theta +{\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (-2)\cdot r^{2}\cos \theta \cdot (-\sin \theta )}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\&=&r(\cos \theta +{\frac {sin\theta \cos \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}})\end{array}}}$

La vitesse en fonction du temps avec ${\displaystyle \theta (t)=\omega \cdot t}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {dx}{d\theta }}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega =\omega \cdot r(\cos \theta +{\frac {sin\theta \cos \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}})\\&=&\omega \cdot r\cos \theta (1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}})\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\\&=&r(-\sin \theta +{\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}-{\frac {\sin \theta \cos \theta \cdot {\frac {1}{2}}\cdot (-2)\cdot \cos \theta \cdot (-\sin \theta )}{\left({\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}\right)^{3}}})\\&=&r(-\sin \theta +{\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}}-{\frac {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta }{\left({\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}\right)^{3}}})\end{array}}}$

Accélération en fonction du temps :

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{dt}})\\&=&{\frac {d}{d\theta }}({\frac {dx}{d\theta }})\cdot ({\frac {d\theta }{dt}})^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\cdot {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\cdot ({\frac {d\theta }{dt}})^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\cdot {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{d\theta }}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

L'égalité des puissances consommée et fournie s'écrit ${\displaystyle F\cdot v=C\cdot \omega }$. En remplaçant dans l'équation en haut, il vient :

${\displaystyle F\cdot \omega \cdot r\cos \theta (1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}})=C\cdot \omega }$

D'où :

${\displaystyle C=F\cdot r\cos \theta (1+{\frac {\sin \theta }{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta }}})}$

Si notre système tourne dans le sens horaire (contrairement au schéma)

${\displaystyle \theta _{h}=-\theta \ ,\sin \theta _{h}=-sin\theta \ ,\cos \theta _{h}=cos\theta }$

et :

${\displaystyle C=F\cdot r\cos \theta _{h}(1-{\frac {\sin \theta _{h}}{\sqrt {\lambda ^{2}-\cos ^{2}\theta _{h}}}})}$

• Manivelle
• Système manivelle-cadre

• Piston motion equations (en)
• Animation du mouvement de la bielle de Bérard