Hyperstatisme

Les actions mécaniques qui s'exercent sur les pièces peuvent se décrire par des forces et des moments, ou bien par des torseurs ; chaque action mécanique peut se décrire par six paramètres, en ayant choisi un repère dans l'espace :

• soit les trois composantes du vecteur force (X,Y,Z) et les trois composantes du vecteur moment (L,M,N) ;
• soit les six composantes du torseur d'action (X, Y, Z, L, M, N).

Si une pièce est immobile, le principe fondamental de la statique (PFS) fournit six équations, ce qui permet de calculer six inconnues. Si l'on a un assemblage de p pièces sans mobilité, on a donc 6×(p - 1) équations (le bâti est la pièce de référence, on ne s'intéresse pas à son immobilité), ce qui permet de lever 6×(p - 1) inconnues statiques. C'est le cas des structures.

Dans le cas d'un mécanisme, celui-ci réalise un certain nombre de mouvements. De fait, certaines équations de la statique ne s'appliquent plus ; par exemple, si une pièce peut bouger selon l'axe x, on ne peut plus écrire que la somme des efforts selon x s'annule. Lors de la phase initiale de la conception d'un mécanisme, on prévoit un certain nombre m_u de mouvements, dits « utiles » ; on a donc 6×(p - 1) - m_u équations, permettant de lever 6×(p - 1) - m_u inconnues statiques.

On peut laisser la possibilité à certaines pièces d'avoir des mouvements qui ne sont pas utiles au fonctionnement du mécanisme mais ne nuisent pas non plus à ce fonctionnement. Ces mobilités dites « inutiles », au nombre de m_i, permettent au mécanisme de s'adapter aux imprécisions de fabrication, de montage, à la dilatation, elles donnent de la « souplesse » au système. On a donc 6×(p - 1) - m_u - m_i équations, permettant de lever 6×(p - 1) - m_u - m_i inconnues statiques.

La structure ou le mécanisme est soumis à des charges extérieures, qui sont normalement connues : elles font partie du fonctionnement normal du dispositif et ont été prévues dès le départ (avec un coefficient de sécurité). Mais cela génère des efforts sur les pièces qu'il faut calculer, afin de dimensionner les pièces, de choisir le matériau (calculs de résistance des matériaux). Les contacts entre les pièces sont modélisés par des liaisons ; les actions au niveau des liaisons sont les inconnues statiques qu'il faut déterminer, on en a au plus 6 par liaisons, et si l'on excepte la liaison encastrement, on a entre 1 et 5 inconnues statiques par liaison. Si l'on appelle N_s le nombre d'inconnues de liaisons, alors :

• si N_s = 6×(p - 1) - m_u - m_i, il y a autant d'équations que d'inconnues, on peut donc déterminer tous les efforts, c'est l'isostatisme ;
• si N_s < 6×(p - 1) - m_u - m_i, on a plus d'équations que d'inconnues, ce qui signifie les efforts ne sont pas définis en statique, donc qu'il y a des mouvements possibles qui nuisent à ce qui a été « planifié », à la fonctionnalité du système ; c'est l'hypostatisme ;
• si N_s > 6×(p - 1) - m_u - m_i, on a plus d'inconnues que d'équations, il est impossible de calculer tous les efforts avec la statique ; c'est l'hyperstatisme [3].

On définit alors le degré d'hyperstatisme h par : h = N_s - 6×(p - 1) + m_u + m_i Avec :

• N_s : Nombre d'inconnues de liaisons
• p : Nombre de pièces (compter le bâti / sol comme une pièce)
• m_u : Nombre de mouvements utiles
• m_i : Nombre de mouvements inutiles

et l'on a :

• h < 0 : hypostatisme ;
• h = 0 : isostatisme ;
• h > 0 : hyperstatisme.

Dans le cas d'une structure (aucune mobilité), lorsque l'on peut se ramener à un problème plan — c'est-à-dire lorsque les surfaces de contact et les actions transmissibles présentent une symétrie par rapport à un plan ——, on n'a que trois inconnues statiques par action mécanique : les deux composantes du vecteur force dans le plan et le moment (qui est toujours perpendiculaire au plan), ou bien avec les torseurs les composantes X, Y et N (si l'on est dans le plan xy). Il ne reste donc plus que trois équations de statique par pièce, on peut donc déterminer 3×(p - 1) équations; d'un autre côté, il y a aussi moins d'inconnues, puisque toutes les liaisons n'ont au plus que trois inconnues. En fait, toutes les liaisons peuvent se ramener aux liaisons encastrement (3 inconnues statiques), pivot dans le plan (d'axe normal au plan, 2 inconnues), glissière dans le plan (2 inconnues) ou appui ponctuel (1 inconnue). On a alors : h = N_s - 3×(p - 1) + m_u + m_i.

Cette analyse plane ne convient pas aux mécanismes, puisque l'on peut avoir des mobilités inutiles hors plan.

Lorsque l'on réalise le graphe des liaisons d'un système, on distingue des chaînes fermées : on part d'une pièce, on passe de pièce en pièce entre les pièces en contact, et on finit par revenir à la pièce de départ. On s'intéresse aux chaînes fermées indépendantes, c'est-à-dire que l'on ne peut pas décomposer en sous-chaînes. Le nombre de chaînes indépendantes, noté µ, est appelé nombre cyclomatique.

Si l'on a N_P pièces et N_L liaisons entre les pièces, on a alors un graphe de N_P sommets et N_L arcs. Le nombre cyclomatique vaut : µ = N_L - N_P + 1.

Considérons une chaîne et numérotons ses pièces 1, 2, 3, …, n.

Bien évidemment, une pièce a un mouvement nul par rapport à elle-même. Si l'on appelle ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {M} \in i/j}}$ la vitesse linéaire d'un point M de la pièce i par rapport à la pièce j et ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{i/j}}$ la vitesse de rotation de i par rapport à j, alors la loi de composition des vitesses (relativité galiléenne) nous donne donc que : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\vec {v}}_{\mathrm {M} \in 1/2}+{\vec {v}}_{\mathrm {M} \in 2/3}+\cdots +{\vec {v}}_{\mathrm {M} \in n-1/n}+{\vec {v}}_{\mathrm {M} \in n/1}={\vec {v}}_{\mathrm {M} \in 1/1}={\vec {0}}\\{\vec {\omega }}_{1/2}+{\vec {\omega }}_{2/3}+\cdots +{\vec {\omega }}_{n-1/n}+{\vec {\omega }}_{n/1}={\vec {\omega }}_{1/1}={\vec {0}}\end{matrix}}\right.}$ ou bien avec les torseurs cinématiques : ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}_{1/2}\}+\{{\mathcal {V}}_{2/3}\}+\cdots +\{{\mathcal {V}}_{n-1/n}\}+\{{\mathcal {V}}_{n/1}\}=\{{\mathcal {V}}_{1/1}\}=\{0\}}$. Chaque vecteur ayant trois composantes, ou bien chaque torseur ayant six composantes, on a donc 6 équations par chaîne fermée. Le nombre d'équations total E vaut donc : E = 6⋅µ.

Pour une liaison donnée entre une pièce i et une pièce j, le degré de liberté est le nombre d'inconnues cinématique entre i et j, le nombre de composantes non nulles dans ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}_{i/j}\}}$. Si l'on somme les degrés de liberté d'un mécanisme, cela nous donne le nombre d'inconnues cinématiques I_C. On définit le degré de mobilité comme étant la différence I_C - E. Mais ce qui nous intéresse, c'est le nombre d'inconnues indépendantes. Dans les systèmes d'équations que donne la chaîne fermée, on peut déterminer le nombre d'équations indépendantes, appelé aussi rang du système d'équations Rg(E) ; on définit donc la mobilité m : m = I_C - Rg(E). Le système a m mouvement indépendants. Si m = 0, alors il n'y a pas d'inconnue cinématique, le système est immobile, figé.

On distingue

• les mobilités utiles m_u : les mouvements indépendants faisant intervenir un paramètre d'entrée ou de sortie du système (mouvement des pièces en contact avec l'extérieur du mécanisme) ;
• les mobilités internes, m_i : les mouvements indépendants ne faisant intervenir aucun paramètre d'entrée ou de sortie du système.

On a évidemment m = m_u + m_i.

Le degré d'hyperstatisme h est défini par : h = E - Rg(E) et l'on a : m - h = I_C - E la mobilité est la différence entre le degré de mobilité et le degré d'hyperstatisme.

Lorsque l'on usine une pièce, le résultat doit être conforme au plan (dessin technique), et en particulier les tolérances géométriques. Le placement de la pièce doit être précis sur le chariot de la machine-outil, la pièce doit donc être placée de manière isostatique puis maintenue en position. Dans la pratique, le maintien de la pièce est souvent hyperstatique, notamment pour que la pièce ne bouge pas sous les efforts engendrés par l'usinage, il faut donc gérer cet hyperstatisme.

Exemples de treillis isostatiques sur deux appuis mobiles (ou un appui mobile et un pivot fixe)

On se place dans le cas d'un problème plan, donc à trois inconnues par pièce.

Une structure métallique (treillis, échafaudage, charpente, …) est composée de poutres — le terme « poutre » est à prendre au sens large : barre, tube, profilé, …—, et l'on considère qu'elles sont reliées entre elles par des pivots[4]. On appelle « nœud » l'endroit où des poutres sont liées.

On utilise trois types de liaisons avec le sol ou le mur :

• appui simple ;
• articulation fixe (pivot) ;
• encastrement.

On peut dénombrer les inconnues de liaison qui sont levées par chacune des liaisons (cf. tableau ci-dessous) :

• l'appui simple empêche la translation perpendiculairement au plan d'appui, on fixe donc une inconnue ;
• l'articulation empêche les deux translations, on fixe donc deux inconnues ;
• l'encastrement immobilise tout, on fixe donc les trois inconnues.

La mobilité m est définie par[5] : m = nombre de poutre × 3 - nombre d'inconnues de liaison fixées.

On a :

• m > 0 : la structure est hypostatique (mobile, instable) ;
• m = 0 : la structure est isostatique ;
• m < 0 : la structure est hyperstatique.

Par rapport à l'étude statique, le nombre d'inconnues de liaison fixée est le nombre d'inconnues statiques N_s, et le nombre de poutres est p - 1 (le bâti étant le sol). On retrouve donc la formule du degré d'hyperstatisme dans le cas plan, le paramètre -m étant le degré d'hyperstatisme : h = −m.

Il faut faire attention aux nœuds communs à plus de deux poutres. En effet, si le nœud A est commun entre trois poutres 1, 2 et 3, alors on a deux pivots : un entre 1 et 2, et un autre entre 2 et 3 (ou bien un entre 1 et 3, et un entre 3 et 2). Pour n poutres à un nœud, on a n - 1 pivots.

Lorsque l'on n'a que deux appuis, on peut utiliser une formule simplifiée. Si l'on appelle b le nombre de poutres et n le nombre de nœuds, on a[6] :

• pour une structure sur appuis mobiles :
  m = 2×n - 3 - b ;
• pour une structure sur deux appuis fixes :
  m = 2×n - 4 - b.

Un mécanisme a pour but de générer un mouvement — actionneurs (vérins, moteurs) —, de transmettre ou de transformer un mouvement (bielle, engrenage, etc.). Un mécanisme est typiquement composé de plusieurs pièces. On considère ici que toutes les liaisons sont parfaites.

On peut donc définir :

• la mobilité utile m_u : ce sont les mouvements possibles du mécanisme vis-à-vis de l'extérieur ; c'est le nombre de paramètres de position (coordonnées et angles de rotation) qu'il faut connaître pour définir la position des pièces d'entrée et de sortie du mécanisme (pièces en contact avec les solides extérieurs) ;
• la mobilité interne m_i : pour les pièces du mécanisme, ce sont les mobilités qui ne sont pas utiles au fonctionnement, mais qui ne sont pas gênantes ; c'est le nombre de paramètres de position (coordonnées et angles de rotation) qu'il faut connaître pour définir la position des pièces à l'intérieur du mécanisme.

On définit ainsi la mobilité du mécanisme : m = m_u + m_i Ces mobilités sont des nombres représentant le nombre de degrés de liberté. Ils sont obtenus en regardant les mouvements possibles ; il s'agit là d'une analyse qualitative.

Par ailleurs, chaque liaison entre pièces se caractérise par un torseur d'action. Certaines composantes de ce torseur sont forcées à zéro, les autres sont les inconnues statiques. On appelle N_s le nombre total d'inconnues statiques du mécanisme ; il est égal au nombre de degrés de liaisons de la liaisons, et c'est le complément à 6 du nombre de degrés de liberté. Si p est le nombre de pièces du mécanisme, bâti compris, on définit alors le degré d'hyperstastisme h par[7] : h = N_s + m - 6⋅(p - 1) = N_s + m_u + m_i - 6⋅(p - 1). Si l'on a :

• hypostatique: le mécanisme a trop de mobilités (m > 0) ;
• h = 0 : le mécanisme est isostatique, on peut tout calculer par la statique ;
• h > 0 : le mécanisme est hyperstatique, la statique ne suffit pas à calculer les inconnues statiques, c'est-à-dire les efforts auxquels seront soumises les pièces.

Dans le cas d'un système hyperstatique, les équations de la résistance des matériaux, et en particulier de la déformée des pièces, peut fournir des équations supplémentaires permettant de calculer les inconnues statiques. Sinon, il faut utiliser des spécifications géométriques très précises — et donc avec un surcoût — pour s'assurer que les inconnues hyperstatiques sont nulles.

Schéma d'un système manivelle (2)-bielle (3)-piston (4).

Considérons le système manivelle-bielle-piston. Ce système n'a qu'une mobilité utile : il suffit de connaître la position de la manivelle pour connaître la position du piston. On a donc m_u = 1. Ce mécanisme comporte quatre pièces (en comptant le bâti), donc p = 4.

Schéma cinématique d'une solution hyperstatique.

Les pièces doivent pouvoir pivoter entre elles dans le plan du mécanisme ; supposons que toutes les articulations internes soient des pivots. On a donc quatre liaisons cinématiques :

• trois pivots (n_s = 5), entre le bâti et la manivelle, la manivelle et la bielle et entre la bielle et le piston ;
• un pivot glissant (n_s = 4), entre le piston et le bâti,

soit N_s = 3×5 + 4 = 19. Par ailleurs, il n'y a pas de mobilité interne (les pivots sont fonctionnels donc pas « inutiles »), soit m_i = 0 donc m = 1. Le degré d'hyperstatisme vaut donc h = 19 + 1 - 6×(4 - 1) = 2.

Le système est hyperstatique de degré 2. En effet, les deux pivots aux extrémités de la bielle lui imposent tous les deux :

• sa position : l'axe de rotation de la manivelle ne peut être décalé par rapport à l'axe propre du piston ;
• son orientation autour de son axe : les axes aux extrémités de la bielle ne peuvent pas être non coplanaires ;

il faudrait donc un parallélisme et un alignement parfaits des axes des pivots pour que l'inconnue hyperstatique soit nulle. Un mécanisme de ce type engendrerait des contraintes dans les pièces (risque de rupture), un frottement important (perte de rendement) et une usure prématurée des pièces.

Schéma cinématique d'une solution isostatique.

Une solution consiste par exemple à libérer la translation à une des extrémités de la bielle avec un pivot glissant et la rotation à l'autre avec une rotule — une faible amplitude de mouvement suffit. Les quatre liaisons cinématiques sont alors :

• un pivot (n_s = 5), entre le bâti et la manivelle ;
• une rotule (n_s = 3) entre la bielle et le piston ;
• deux pivots glissants (n_s = 4), entre la manivelle et la bielle et entre le piston et le bâti,

soit N_s = 5 + 3 + 2×4 = 16, et une mobilité inutile (la rotation du piston autour de son axe) : m_i = 1 donc m = 2. Le degré d'hyperstatisme vaut donc h = 16 + 2 - 6×(4 - 1) = 0. On a bien un système isostatique.

Nb : modélisé comme tel, le « Schéma cinématique d'une solution hyperstatique » contient ici une liaison glissière et non pivot glissant comme dans l'exemple.

L'association d'une liaison rotule et d'une liaison linéaire annulaire est potentiellement instable si les axes sont perpendiculaires.

La plus grande difficulté consiste à dénombrer les mobilités inutiles. Si l'on en oublie, on calculera un degré d'hyperstaticité plus petit que la « réalité ». Et si le calcul donne un degré d'hyperstaticité négatif, il faut repérer les mouvements nuisibles afin de modifier le mécanisme.

Ce processus n'est pas automatisable, il faut faire preuve d'imagination… On peut par exemple imaginer que l'on tient une pièce en main, et que l'on essaie d'en faire bouger une autre. On peut s'aider d'un logiciel de cinématique et de dynamique : on bloque les degrés de libertés utiles, et l'on impose un effort ou un déplacement à un point, pour voir comment le mécanisme bouge.

Il faut bien comprendre que l'analyse porte sur le système en position initiale, non déformé et sans frottement. Nous donnons trois exemples pour illustrer les pièges que cela comporte.

Considérons un système formé d'une pièce liée au bâti par une liaison rotule de centre A LR(A) d'un côté, et une liaison linéaire annulaire de centre B LLA(B, y) de l'autre, l'axe de la liaison y étant horizontal et perpendiculaire à (AB). Si l'on fait tourner la pièce autour de l'axe (A, z), axe vertical passant par A, on imagine que le point B décrit un cercle ; la sphère de la LLA vient donc se mettre en butée dans la gouttière. Cependant, la LLA n'est pas capable de transmettre un effort selon y ; tant que le mécanisme reste en position initiale, rien n'empêche ce mouvement. On a donc bien une mobilité.

Concrètement, il n'est pas possible d'avoir un mouvement de rotation fonctionnelle autour de l'axe (A, z) ; toutefois, cette incapacité à transmettre un effort peut entraîner des vibrations et des instabilités.

Considérons maintenant deux pièces liées au bâti par une liaison rotule, et elle-même liées par une liaison rotule. Si les centres des liaisons sont alignées et que l'on exerce un effort radial, on s'imagine bien que l'ensemble va se déformer de manière élastique, et qu'il sera relativement rigide. Toutefois, l'effort engendré sur les rotules extérieures sera énorme. Le mécanisme n'autorise pas de translation fonctionnelle du point B, mais tant que le mécanisme ne se déforme pas, rien ne peut s'opposer à un effort radial.

À l'inverse, si les centres ne sont pas alignés, on se retrouve dans la situation classique d'une treillis, l'ensemble est rigide, il peut juste tourner autour de l'axe (AC).

D'un point de vue théorique, la situation du haut présente une mobilité nuisible : même si l'on ne peut pas avoir de mouvement radial du point B, cette situation est source de vibrations et d'instabilités.

Le troisième exemple est celui de la liaison hélicoïdale. Comme on néglige le frottement, il faut toujours considérer la liaison comme réversible, c'est-à-dire que si l'on pousse sur la vis, l'écrou étant fixe, alors la vis se met à avancer et à tourner (et vice versa). Cela a peu de chances de poser problème. Toutefois, il faut prendre en compte les éventuelles mobilités inutiles induites, afin de calculer correctement H.

Fig. 1 —Poutre encastrée à gauche et appuyée à droite, avec une charge centrale.

Considérons une poutre encastrée-appuyée sollicitée en son centre d'un effort (fig. 1). Une manière de calculer ce cas consiste à le décomposer en deux sous-problèmes.

Fig. 2 — Poutre simplement appuyée subissant une charge centrale.

Nous considérons tout d'abord une poutre bi-appuyée (fig. 2).

Nous trouvons les réactions d'appuis égales chacune à la moitié de l'effort P et une déformée angulaire en O, l'angle de rotation en O valant ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {O} }={\frac {\mathrm {P} \mathrm {L} ^{2}}{16\mathrm {E} \mathrm {I} }}}$

Fig. 3 — Poutre simplement appuyée subissant un moment en O.

Reste à calculer le moment d'encastrement au point O. Ce moment est l'effort nécessaire pour atteindre un angle de déformée nulle en O, c'est-à-dire le moment provoquant une déformation exactement opposée à celle provoquée par la charge sur une poutre bi-appuyée que nous venons de calculer. Si nous en croyons les formules classiques, ce moment vaut ${\displaystyle \mathrm {M_{O}} ={\frac {3\varphi _{\mathrm {O} }\mathrm {E} \mathrm {I} }{\mathrm {L} }}={\frac {3\mathrm {P} \mathrm {L} }{16}}}$

Ainsi, nous avons calculé toutes les réactions d'appuis et pouvons calculer les efforts et les déformations résultantes dans la poutre comme somme des efforts dans la poutre isostatique et celui dû à la réaction d'appuis supplémentaire que nous avons introduite.

L'isostatisme a pour objectif de déterminer la position relative de deux objets pour une phase de productique (transformation, manutention, mesure ou contrôle) en respectant la cotation de fabrication.

Lors de l'utilisation d'un simulateur de mouvement, par exemple COSMOSMotion (simulateur de mouvement intégré directement dans le logiciel SolidWorks), il est important de connaître le degré d'hyperstaticité de l'assemblage avant d'utiliser le logiciel pour faire l'analyse de mouvement des pièces de l'assemblage (calcul des forces, moments ou vitesses).

Un certain nombre de logiciels sont incapables de faire l'analyse si le système est hyperstatique ; le logiciel désactivera donc par lui-même certaines contraintes de l'assemblage et parfois celles-ci sont essentielles au bon fonctionnement du mécanisme. Cela peut engendrer des résultats erronés. L'utilisateur doit donc s'assurer lui-même que le mécanisme simulé est isostatique et fonctionnel, avant de faire une analyse de mouvement, ou du moins, s'assurer que le logiciel désactive les bonnes contraintes.

Les logiciels de dynamique, comme MSC.Adams, sont capables d'effectuer des calculs sur un mécanisme hyperstatique. Cependant, cela implique des flux bouclés, c'est-à-dire des efforts internes au mécanismes qui s'annulent mais n'empêchent pas le mouvement, surtout si l'on omet le frottement. Du fait des instabilités numériques, le logiciel peut calculer des efforts énormes, ne correspondant pas à la réalité. Là encore, il convient de rendre le mécanisme isostatique, tout en le gardant fonctionnel, pour l'étude.

Un bon moyen pour y arriver est de changer certains types de liaisons du mécanisme, mais seulement pour l'étude, c'est-à-dire, faire une modification (qui peut être loufoque) seulement pour la modélisation sur le logiciel. Une fois l'étude accomplie, on peut remettre le mécanisme hyperstatique.

• La symbolique MIP MAP
• Théorie des mécanismes, JDoTec