Treillis (assemblage)

Exemples de treillis isostatiques sur deux appuis

La stabilité consiste à déterminer l'isostatisme : chaque poutre pouvant tourner, il faut « suffisamment de barres » pour qu'elles se bloquent entre elles. Si l'on a juste le nombre suffisant de barres, on est dans un cas isostatique : c'est le cas le plus économique et le plus léger, puisque l'on a le minimum de barres et de liaisons à réaliser, mais si une seule poutre cède, l'ensemble n'est plus stable. Les structures sont donc fréquemment hyperstatiques. Cependant, les calculs dans le cas hyperstatique sont plus compliqués, puisque les équations de la statique ne suffisent plus.

Lors de calculs manuels, il est souvent possible de transformer un treillis hyperstatique en un cas isostatique, en négligeant les barres comprimées (en admettant qu'elles flambent) sous un cas de charge donné. Dans les exemples qui suivent, nous ne considérerons que des problèmes isostatiques.

Le calcul de stabilité revient donc à vérifier que le degré d'hyperstaticité est positif ou nul[1]. Pour simplifier, on se place dans le cas d'un problème plan :

• on a une structure statique, elle n'a donc aucune mobilité : m = 0 ;
• on a p poutres (barres) ; on peut écrire le principe fondamental de la statique (PFS) pour chaque poutre, on a donc 3×p équations (équilibre des forces selon x, équilibre des forces selon y, équilibre des moments) ;
• on a un certain nombre de liaisons, et chaque liaison a n_s inconnues (efforts transimssibles), le nombre total d'inconnues est N_s = ∑n_s.

Le degré d'hyperstatisme est défini par

H = N_s - 3×p.

La structure est stable si H ≥ 0 :

• elle est isostatique si H = 0 ;
• elle est hyperstatique si H > 0 ;
• elle est instable si H < 0.

Dans un problème plan, une articulation a n_s = 2 inconnues statiques : elle peut transmettre une force de direction arbitraire (inconnue selon x et selon y) mais ne peut pas transmettre de moment. Un nœud entre deux barres a donc 2 inconnues statiques ; mais en dehors des angles extérieurs, un nœud lie trois barres ou plus.

Si un nœud lie trois barres, nous sommes en présence de deux articulations indépendantes ; d'un point de vue cinématique, on peut considérer que l'on a une barre de référence (le « bâti »), et les autres barres sont reliées à cette barre-là, de manière indépendante. On a donc 4 inconnues statiques. De manière générale, si un nœud lie q barres, on a 2(q - 1) inconnues statiques.

Par ailleurs, la liaison avec le sol ou les parois peut être de deux natures : articulation ou appui simple. Une articulation rajoute deux inconnues, et un appui simple une seule inconnue (la direction de la force est connue, perpendiculaire à l'appui).

Dans le cas où le treillis a deux liaisons avec l'environnement (sol, paroi), on peut encore simplifier l'approche[2] : soit b le nombre de poutres et n le nombre de nœuds,

• si la structure est sur deux appuis simples (ou une articulation et un appui simple), elle est stable si

  b = 2n - 3 ;

• si la structure est sur deux articulations, elle est stable si

  b = 2n - 4.

Ferme Polonceau

Exemple

Prenons le cas d'une ferme Polonceau sur deux appuis, une articulation à gauche et un appui simple à droite. Nous avons onze barres et sept nœuds.

Avec la méthode générale, nous avons :

• p = 11, donc 3×11 = 33 équations de la statique ;
• pour les différents nœuds :
  • nœuds n2, n3 et n6 : liaisons entre quatre barres, donc 2×3 = 6 inconnues statiques par nœud, soit un total de 3×6 = 18 inconnues,
  • nœuds n5 et n7 : liaisons entre trois barres, donc 4 inconnues par nœud, soit 8 inconnues au total,
  • nœud n1 : lien entre deux barres et articulation avec le sol, soit 2 + 2 = 4 inconnues,
  • nœud n4 : lien entre deux barres et appui simple avec le sol, soit 2 + 1 = 3 inconnues.

Le degré d'hyperstaticité vaut

H = (18 + 8 + 4 + 3) - 33 = 0

le treillis est donc isostatique.

Avec la méthode simplifiée, nous avons :

• b = 11 ;
• n = 7 ;

donc

2n - 3 = 2×7 - 3 = 11 = b

la condition d'isostaticité est donc vérifiée.

La première chose est de savoir comment chaque élément va être chargé : intensité de la force et sens (traction ou compression). Il s'agit d'un calcul de statique.

La méthode analytique de référence est la méthode des nœuds : on isole les nœuds un par un et l'on écrit le principe fondamental de la statique. C'est une méthode précise mais longue et fastidieuse pour les grandes structures. On peut déterminer les efforts dans trois poutres simultanément en utilisant la méthode de Ritter, ou méthode des sections, qui utilise le principe de la coupure.

Pour les grandes structures, avant le développement des logiciels de calcul, on utilisait des méthodes graphiques :

• méthode de Ritter associée à la méthode de Culmann[3] ;
• épure de Cremona[4].

Les charges déterminées par la statique permettent de choisir les poutres : profil (qui détermine le moment quadratique) et matériau (qui détermine le module de Young). Les différents éléments doivent vérifier :

• les conditions de résistance des matériaux (stabilité de résistance), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite ultime » (ELU) ;
• les conditions de déformation et de déplacement (stabilité de forme), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite en service » (ELS).

• Pont en treillis
• Ferme (charpente)

• Treillis « plans » sur le site de la Haute École HELMo