Moment quadratique

Section carrée

Pour une section carrée de côté ${\displaystyle a}$ centrée en ${\displaystyle \mathrm {O} }$ :

• Moment quadratique par rapport à ${\displaystyle \mathrm {O} {\vec {x}}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{S}y^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\left(\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\mathrm {d} x\right)\cdot \left(\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\right)\\&=\left[{\frac {a}{2}}-\left(-{\frac {a}{2}}\right)\right]\cdot {\frac {1}{3}}\left[\left({\frac {a}{2}}\right)^{3}-\left(-{\frac {a}{2}}\right)^{3}\right]={\frac {1}{3}}a\left({\frac {a^{3}}{8}}+{\frac {a^{3}}{8}}\right)\\&={\frac {a^{4}}{12}}\end{aligned}}}$

• Moment quadratique par rapport à ${\displaystyle \mathrm {O} {\vec {y}}}$ :

Par un calcul similaire, ou plus simplement en raison de la symétrie de la section :

${\displaystyle I_{y}=I_{x}={\frac {a^{4}}{12}}}$

• Moment quadratique par rapport au point ${\displaystyle \mathrm {O} }$ :

Comme ${\displaystyle I_{\mathrm {O} }=I_{x}+I_{y}}$ :

${\displaystyle I_{\mathrm {O} }={\frac {a^{4}}{6}}}$

Section rectangulaire

${\displaystyle I_{x}={\frac {b\,h^{3}}{12}}}$

${\displaystyle I_{y}={\frac {h\,b^{3}}{12}}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {G} }={\frac {b\,h}{12}}(b^{2}+h^{2})}$

En résistance des matériaux, le moment quadratique ${\displaystyle I_{\mathrm {G} }}$ ne peut être utilisé ; en effet, la torsion selon ${\displaystyle {\overrightarrow {z}}}$ d'une section rectangulaire va à l'encontre du principe de Navier-Bernoulli .

Section circulaire

${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {\pi D^{4}}{64}}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {G} }={\frac {\pi D^{4}}{32}}}$

Section annulaire

Il s'agit simplement de soustraire le moment quadratique du disque intérieur à celui du disque extérieur.

${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {\pi }{64}}(D^{4}-d^{4})}$

${\displaystyle I_{\mathrm {G} }={\frac {\pi }{32}}(D^{4}-d^{4})}$

On décompose la poutre en 3 parties, les deux semelles et l'âme. On fait la somme des moments quadratiques de chaque section. Si on choisit l'axe neutre comme axe de rotation, on doit utiliser le théorème des axes parallèles (transport) pour le moment quadratique des semelles :

${\displaystyle I_{\text{x}}=I_{1}+2I_{2}={\frac {e(h-2e')^{3}}{12}}+2({\frac {l'e'^{3}}{12}}+(l'e').({\frac {h}{2}}-{\frac {e'}{2}})^{2})}$

avec ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle h}$ l'épaisseur et la hauteur de l’âme et ${\displaystyle l'}$ et ${\displaystyle e'}$ la largeur et l'épaisseur d'une semelle.

Il est également possible de considérer une section rectangulaire de largeur ${\displaystyle l'}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$ à laquelle il faut soustraire l'inertie de la portion considérée en trop, soit une autre section rectangulaire de largeur ${\displaystyle l'-e}$ et de hauteur ${\displaystyle h-2e'}$. La formule devient alors :

${\displaystyle I_{\text{x}}=I_{1}-I_{2}={\frac {b_{1}h_{1}^{3}}{12}}-{\frac {b_{2}h_{2}^{3}}{12}}={\frac {l'h^{3}}{12}}-{\frac {(l'-e)(h-2e')^{3}}{12}}}$

Les semelles sont les parties qui subissent la plus grande déformation. Ces parties sont donc plus larges, afin d'offrir une meilleure résistance à la déformation, tout en réduisant l'âme afin de gagner du poids. L'âme sert à écarter les semelles afin d'augmenter leur moment quadratique. Ainsi, à aire équivalente, le moment quadratique d'une section en I est beaucoup plus grand que celui d'une section carrée, d'autant plus que les épaisseurs — surtout celle de l'âme — sont faibles.

Ces poutres sont donc largement utilisées en génie civil et en mécanique car elles permettent des économies de matière.

En utilisant pour ces parties un matériau plus résistant aux contraintes (cf. Déformation élastique) ou ayant un module de Young plus élevé, on peut donc considérablement augmenter ses caractéristiques mécaniques. Pour l'âme, on peut alors utiliser un matériau de résistance moindre mais plus léger, celui-ci étant soumis à de moins grandes déformations.

Ce principe est utilisé abondamment dans la fabrication de bateaux en matériaux composites : l'âme est faite en mousse ou dans un matériau de faible densité (par exemple un polymère ou du balsa) et les semelles sont en fibres (verre, carbone, …). Ce type de fabrication est appelé sandwich dans le milieu nautique, à cause de cette structure en 3 feuilles superposées.

• Théorie des poutres, Flexion pure