Engrenage

L'engrenage est l'une des huit machines simples.

Les engrenages sont utilisés dans toutes les branches de la mécanique pour transmettre des mouvements, de l’horlogerie jusqu’aux réducteurs de l’industrie lourde. La transmission se fait avec un très bon rendement énergétique étant donné qu'il est généralement supérieur à 95 % dans des conditions correctes de montage et de lubrification en service.

Le rapport de vitesses angulaires obtenu entre l’entrée et la sortie est également qualifié de « rapport d'engrenage » et de « rapport de transmission (R) »[vocab 1]. Ce rapport ne dépend que des nombres de dents des roues en contact. Il est également égal au rapport des rayons, et, a fortiori, des diamètres des roues (au signe près). Si R est supérieur à 1 on parle de multiplicateur, si R est inférieur à 1 on parle de réducteur.

Pour des transmissions à grand entraxe, en regard de la dimension des pièces, on préférera une chaîne, une courroie ou une cascade d’engrenages.

Dans des transmissions à grande vitesse, les pertes de puissance dans les engrenages sont signifiantes. En effet, elles ont un impact direct sur le bon fonctionnement du mécanisme et de ce fait, elle doivent être prises en compte lors des différentes phases notamment :

• la phase de conception ;
• la phase de dimensionnement.

La considération des pertes de puissance lors des phases ci-haut permet :

• d'éviter les dilatations thermiques pouvant conduire à la rupture du mécanisme ;
• un meilleur dimensionnement des systèmes de refroidissement en cas de besoin.

En général, les principales sources de pertes de puissance dans les transmissions par engrenages sont liées[6] :

• au phénomène de frottement entre les dentures ;
• au procédé mis en place pour la lubrification du mécanisme ;
• à la ventilation au niveau des dentures ;
• au piégeage du mélange huile-air au cours de l'engrènement.

Le système de pignon-crémaillère est principalement utilisé pour transformer un mouvement rotatif en mouvement de translation ou le contraire. Il est constitué d’une roue dentée (pignon) et d’une barre elle aussi dentée (crémaillère). La roue dentée, en tournant, entraîne les dents de la barre qui se déplace alors en translation. Un tel mécanisme est utilisé dans les automobiles pour convertir la rotation du volant dans le mouvement de gauche à droite des barres de conduite. Un système de pignon et crémaillère est aussi utilisé dans un train à crémaillère où un pignon entrainé par le moteur de la locomotive s'engrène dans une crémaillère monté parallèlement aux rails.

Les axes des deux roues dentées sont parallèles.

Ces engrenages sont généralement utilisés afin d'avoir un angle entre l'entrée et la sortie de l'engrenage. Ce système est utilisé dans les différentiels automobiles afin d'avoir un angle droit entre l'entrée et la sortie de la transmission (en plus de la fonction différentiel).

La roue dentée d'un engrenage conique a la forme d'un cône dont la majeure partie de la pointe est coupée (cône tronqué). Lorsque deux roues coniques sont en prise, leurs sommets imaginaires doivent occuper le même point. Leurs axes se croisent également à cet endroit, formant un angle non rectiligne arbitraire entre les arbres. L'angle entre les arbres peut être tout sauf zéro ou 180 degrés, il est souvent égal à 90 degrés.

Les axes des deux roues dentées ne sont pas dans le même plan. C'est notamment le cas des engrenages gauches hélicoïdaux, des engrenages hypoïdes (à ne pas confondre avec les engrenages coniques) ou encore la roue et vis sans fin.

• 
  Engrenage conique
• 
  Engrenage gauche
• 
  Engrenage conique
• 
  Engrenage roue-vis

Il s'agit d'un engrenage à axes concourants ou parallèles. C'est un ancien système d'engrènement. Il est composé en entrée d'une « lanterne » (deux disques espacés au périmètre par des fuseaux ou cylindres) et en sortie d'un « rouet » (équipé de récepteurs de couple sous forme de fuseau ou d'alluchons).
Dans les systèmes d'horlogerie, les pièces sont métalliques ; mais dans les mécanismes des moulins à vent, les lanternes et les alluchons sont le plus souvent en bois : le remplacement en cas d'usure ou de casse est alors plus facile et plus économique.

• 
  Lanterne et grand rouet
• 
  Pignon lanterne au cœur d'un moulin à vent
• 
  Moulin à vent de Dosches
• 
  Horloge de clocher

En horlogerie, ne pas confondre avec mobile, assemblage d'une roue montée sur son pignon.

Engrenages d'une usine de concassage

Un vieil engrenage pour une machine dans une ancienne carrière de granite en Suède. Juin 2018.

On distingue différents types de dentures :

• les dentures droites ;
• les dentures hélicoïdales ;
• les dentures à chevrons (Citroën) ;
• les engrenages à collets.

Mise en évidence du point de contact entre les dents

Il existe plusieurs types de dentures[vocab 2], aux propriétés particulières. La quasi-totalité des formes sont dites conjuguées : pendant la rotation, les dents restent en contact dans un plan sagittal, et quand le lieu géométrique de ce point de contact est une droite, les profils des dents sont des développantes de cercle. Une exception notable est l’engrenage « Novikov », dit aussi quelquefois de « Fisher », dans lequel le contact entre deux dents se fait pendant un temps « ponctuel » tout le long du profil[vocab 3].

Tracé d'une dent par profil en développante de cercle (équation paramétrique). d : diamètre primitif, db: diamètre de base, p : pas,

C’est le profil presque universellement utilisé pour la transmission de puissance. La développante du cercle est la trajectoire d’un point d’une droite qui roule sans glisser sur un cercle. Ce cercle est appelé « cercle de base », de diamètre d_b.(= d_primitif*cos(α)) La zone d’existence de la développante se situe entre le cercle de base et l’infini. Il n’existe pas de développante à l’intérieur du cercle de base. Il ne faut donc pas chercher à faire fonctionner un engrenage à l’intérieur des cercles de base des dentures qui le constituent.

Si on considère deux cercles de base associés à deux roues d’un même engrenage, il est possible de faire rouler sans glisser une droite simultanément sur les deux cercles. De ce fait la vitesse circonférentielle des points des cercles est la même que ceux de la droite. Un point de la droite (point d’engrènement) va générer, sur les deux roues, le flanc de dent.

Engrenage classique : la droite intérieure roule sans glisser simultanément sur les deux cercles de base.

Si la droite passe entre les centres des cercles, on obtient l’engrenage classique. Les roues tournent alors en sens contraire et le rapport de transmission dépend des diamètres. Lorsqu’elle est extérieure, l’engrenage est dit paradoxal et les roues tournent dans le même sens.

Dans le cas de l’engrenage classique, et plus particulièrement des engrenages standards, les cercles de base sont rapprochés de telle sorte que la droite intérieure forme un angle de pression α avec la perpendiculaire à la droite qui passe par les axes. Selon le standard, α vaut 20° ou 14,5° pour les anciens engrenages[7].

Les dents sont limitées à une zone autour du point I, dit « point d’engrènement », où les vitesses de glissement des dents sont infimes, ce qui contribue à un rendement optimal de l’engrenage. On obtient les deux flancs de dent en considérant les deux tangentes intérieures.

La force exercée d’une dent sur l’autre se décompose en deux : une tangentielle (utile) qui transmet le couple, et une radiale (parasite) qui tend à éloigner les roues. Un angle de pression petit à l’avantage de limiter cette force de répulsion parasite, mais donne une forme de dent fragile. À l’opposé, un angle de pression élevé donne des dents trapues donc plus résistantes, mais génère beaucoup de forces sur les axes.

Engrenage paradoxal : la tangente commune est extérieure aux deux cercles. Les deux roues tournent dans le même sens.

L’engrenage paradoxal est un engrenage à deux roues tournant dans le même sens[8] ; il est utilisé dans certains différentiels (comme le différentiel Mercier, ingénieur chez Renault). Les vitesses importantes de glissement relatif sur les dents permettent un « blocage » partiel du différentiel lorsque les roues du véhicule ne disposent pas de la même adhérence au sol. Il ne s’agit pas de blocage à proprement parler puisque la résistance au mouvement n’est pas obtenue par obstacle, mais par frottement. Pour assurer le relais de la prise des dents, il est souvent nécessaire de disposer les dents dans des plans radiaux différents, ou avoir recours à une dent en hélice (solution continue).

La génératrice de forme des dents est une droite parallèle à l’axe de rotation. C’est le type de denture le plus courant. Il est utilisé dans toutes les applications de mécanique générale. En effet, il s'agit du système qui permet de transmettre le maximum d’effort. Néanmoins, son principal défaut est d’être bruyant.

La génératrice de forme des dents est une ligne hélicoïdale de même axe que l’axe de rotation. Ce type de denture présente l’avantage d’être plus silencieux que la denture droite, en créant moins de vibrations. Les dentures hélicoïdales permettent également d’augmenter la conduite de la transmission, en faisant en sorte que le nombre de dents simultanément en contact devienne constant, ce qui permet de transmettre des efforts plus importants et surtout d’atténuer les vibrations et les bruits.

En contrepartie ce type de denture engendre un effort axial dont l’intensité dépend de l’angle d’inclinaison de denture. Les roulements ou les paliers doivent être dimensionnés pour reprendre cet effort. Pour les engrenages à axes parallèles, les hélices sont obligatoirement de sens contraires pour que les dentures puissent engrener, sauf dans le cas très particulier de l’engrenage paradoxal.

Engrenages à chevrons en V d’André Citroën, devenus emblème et logo des automobiles Citroën.

Le principe de la denture en chevrons apparaît en même temps que les principes de fonctionnement des engrenages sont compris. En 1848, Théodore Olivier donne un tracé des engrenages coniques et à chevrons en utilisant la spirale logarithmique et dessine le principe de construction de la machine capable de les tailler. Ses travaux développent et confirment les recherches de l'anglais White, qui vient de réaliser les premiers engrenages sans frottement. Théodore Olivier réalise des maquettes pédagogiques encore visibles au Musée des Arts et Métiers[9]. La denture en chevrons inventée par Charles Renard mais brevetée par André Citroën, est composée de deux dentures hélicoïdales de dimensions identiques, mais d'hélices en sens contraires de manière à annuler l’effort axial sur l'ensemble.

Bien que séduisant du point de vue théorique, ce type de denture est, en pratique, compliqué à réaliser lorsque le profil n'est pas dégageant à l'intersection des deux hélices ; il est de ce fait cher à réaliser. Certains constructeurs usinent une rainure centrale pour permettre de dégager facilement les outils de taillage à l'intersection des deux hélices ; la rainure facilite également l'évacuation du lubrifiant, permettant ainsi de diminuer la température de fonctionnement. Les dentures en chevrons sont utilisées essentiellement dans l’industrie lourde. Dans ce cas, il s’agit souvent de deux engrenages à hélices contraires associés et plus rarement de roues monoblocs. On peut aussi en trouver en aéronautique, par exemple dans le réducteur d'un turbopropulseur type PW100.

Un engrenage à vis est un engrenage gauche constitué d’une vis et d’une roue à vis conjuguée, appelé « roue et vis ». Le profil de la vis est en général trapézoïdal.

Dans de nombreux cas, ce dispositif est « irréversible », ce qui signifie que si la vis peut entraîner la roue, la roue ne peut pas, en raison des frottements et de l'angle de l'hélice de la vis, entraîner celle-ci. Cet aspect est intéressant notamment pour la commande d’un treuil qui ne peut pas se dérouler tout seul. Son rôle de réducteur de vitesse est aussi très intéressant, car il permet un rapport de rotation très élevé (10:1 à 500:1) avec seulement deux éléments, et ce dans un espace réduit et avec un renvoi d'angle à 90° au prix d'un rendement nettement inférieur à celui d'un engrenage conique. C'est d'ailleurs ce mauvais rendement qui lui permet d'assurer dans certaines conditions l'irréversibilité.

Les dentures peuvent être détériorées de deux manières :

• par rupture d’une ou plusieurs dents,
• par usure des surfaces de contact. Ce dernier point est traité en détail dans un des chapitres du wikilivre de tribologie consacré à l’endommagement des dentures.

Les formules ci-dessous sont valables pour une denture normalisée.

• diamètres primitifs :

${\displaystyle d_{p}=zm}$

${\displaystyle d_{b}=d_{p}\cos \alpha }$

• pas :

${\displaystyle p=\pi m}$

• entraxe :

${\displaystyle a={\frac {d_{k}+d_{k+1}}{2}}={\frac {m(z_{k}+z_{k+1})}{2}}}$

• rapport d’engrenage :

${\displaystyle u={\frac {z_{k}}{z_{k+1}}}}$

Génération d'un pignon par crémaillère

• rapport de réduction (vitesses) depuis un arbre d’entrée (e) vers un arbre de sortie (s) à travers 1 engrenage extérieur :

${\displaystyle i={\frac {\omega _{\mathrm {e} }}{\omega _{\mathrm {s} }}}={\frac {z_{\mathrm {s} }}{z_{\mathrm {e} }}}\,}$

avec :

• α : angle de pression
• m : module[vocab 4]
• z : le nombre de dents
• p : pas
• ω : la vitesse de rotation quelle que soit l'unité (tr/min) (rad/s)...

rapport de transmission d’un train d’engrenages :

${\displaystyle i_{\mathrm {tot} }=i_{1}\cdot i_{2}\cdot i_{3}\ldots \cdot i_{\mathrm {n} }\,}$

Attention: le rapport de réduction d'un engrenage noté "r" est l'inverse du rapport de transmission noté "i" : i = 1/r

Engrenages microtechniques.

Pour les pièces métalliques, les dentures sont réalisées, principalement, par enlèvement de matière (usinage). Il s’agit le plus souvent d’un engrènement simulé entre un outil (pignon, crémaillère, ou fraise) et la roue à tailler. De ce fait, le module de denture est imposé par l’outillage. Le mouvement d'engrènement contribue dans tous les cas au mouvement d'avance dans l'opération d'usinage. Le mouvement de coupe dépend du procédé.

Pour les pièces en matière plastique, les pièces unitaires sont généralement taillées, mais pour les fabrications en série, elles sont généralement moulées.

Les modules sont normalisés. Il y a les valeurs principales, les valeurs secondaires (entre parenthèses) et les valeurs admises à titre exceptionnel (entre parenthèses et en italique) :

Il n’est pas possible de réaliser n’importe quel engrenage. Les bonnes conditions d’engrènement limitent le choix du nombre de dents de chaque roue. Les critères à considérer sont :

Interférence entre les dents

Nombre minimal de dents (pour éviter l’interférence)

${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }}$	13	14	15	16	17
${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }}$	de 13 à 16	de 13 à 26	de 13 à 45	de 13 à 101	de 14 à ∞

Répartition des usures

Les nombres de dents doivent être si possible choisis premiers entre eux, ce qui permet à chaque dent d’une roue de rencontrer toutes les dents de l’autre.

Rapport de conduite

Il faut optimiser le nombre de dents en prise pour mieux répartir les charges, et ainsi à la fois diminuer les effets de fatigue sur les dents, et réduire le bruit. On a alors souvent recours aux engrenages hélicoïdaux.

Déport de denture et modification d’entraxe

Un couple de roues donné peut fonctionner dès lors que les dentures sont suffisamment imbriquées. Même s’il y a du jeu, l’entraxe étant alors plus grand. Dans ce cas, il est possible d’annuler le jeu en gonflant les dents d’une ou des deux roues (ce qui revient à réduire la saillie au profit de la dent). Le rapport de transmission et les diamètres primitifs sont inchangés.

La plupart des engrenages standards sont sans déport de denture (la dent étant alors aussi grosse que la saillie), mais dans des cas très pointus (boîte de vitesses) cela est pratiqué pour deux raisons principalement. La première est qu'il n’existe pas de couple (Z1, Z2) permettant d’assurer à la fois le rapport (Z1/Z2) et l’entraxe (Z1+Z2), il faut donc faire varier (modification géométrique artificielle) sa valeur en déportant au moins une denture. La seconde est que les dents du pignon (petite roue), plus souvent sollicitées, sont grossies, et celles de la grande roue réduites, afin de leur conférer une même durée de vie (notions de résistance de la dent, et de fatigue). Le déport de denture permet de même d'améliorer le glissement entre les dents.

En règle générale, s’il y a déport de denture, il n’est pas toujours possible de ne changer qu’une seule roue dans un engrenage.

Le rapport de multiplication est le produit des nombres de dents des roues menantes divisé par celui des roues menées. Soit :

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{\omega _{e}}}=(-1)^{n}{\frac {\prod Z_{\text{menantes}}}{\prod Z_{\text{menées}}}}}$

Avec :

• ${\displaystyle \omega _{e}}$ et ${\displaystyle \omega _{s}}$ respectivement les vitesses en entrée et en sortie du train d’engrenages
• ${\displaystyle \prod Z_{\text{menantes}}}$, le produit des nombres de dents des roues menantes
• ${\displaystyle \prod Z_{\text{menees}}}$, de même pour les roues menées
• n le nombre de contacts extérieurs

Un train épicycloïdal comportant trois satellites

Ce sont des systèmes composés de satellites montés sur un porte-satellite tournant autour de deux planétaires. Ils présentent donc trois éléments mobiles par rapport à un autre fixe. Ils sont utilisés tels quels dans les systèmes différentiels.

En bloquant un élément, on obtient, avec la même géométrie, différents rapports de réduction entre les éléments encore mobiles. C’est d’ailleurs le principe utilisé dans les boîtes de vitesses « automatiques ».

Ces trains sont très utilisés en mécanique car ils peuvent fournir des rapports de réduction élevés, avec des pièces de taille raisonnable, et des rendements acceptables (98 % par étage). De plus leur géométrie aboutit souvent à une configuration où l’arbre d’entrée est coaxial avec l’arbre de sortie. On trouve dans le commerce des réducteurs épicycloïdaux compatibles avec des moteurs électriques (devenant du coup motoréducteurs).

Sur le principe, le train sphérique se rapproche du train épicycloïdal. Les engrenages sont coniques et semblent donc disposés sur une sphère. C’est la géométrie du différentiel des essieux moteurs des véhicules automobiles. Ils combinent aisément la fonction renvoi d’angle, la réduction, et la fonction différentielle.

Ils ont servi en prison, comme une forme de travail forcé, on parle alors de moulin à discipline.

• 
  Moulin à discipline de Breakwater Prison (Afrique du sud).
• 
  Moulin à vent de Saint-Arnoult construit en 1864, Terdeghem Hauts-de-France.
• 
  Horloge de l'église Westerkerk (Amsterdam).
• 
  Filature de laine à Niaux (Ariège).

• Georges Henriot, Engrenages - Conception - Fabrication - Mise en œuvre, Dunod, 8^e éd. 2013 (ISBN 9782100599936)
• Jean-Paul Delahaye, « Mathématiques des engrenages », Pour la science, n^o 537,‎ juillet 2022, p. 80-85

• Pièce mécanique
• Boîte de vitesses
• Train épicycloïdal
• Différentiel
• Pompe à engrenages
• Roue dentée
• Engrenage non circulaire (en)

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Store norske leksikon
  • Treccani
  • Universalis
• Notices d'autorité :

  • BnF (données)
  • LCCN
  • GND
  • Japon
  • Israël
  • Tchéquie
• Profils d’engrenages conjugués - Courbes mathématiques de profils de dents
• Les engrenages - Site des Musées des techniques et cultures comtoises