Théorème de Routh

Soit un triangle ABC. Trois céviennes issues des trois sommets coupent les côtés opposés en D, E, F, et découpent un triangle PQR.

Si l'on pose : ${\displaystyle x={\dfrac {DC}{DB}}}$, ${\displaystyle y={\dfrac {EA}{EC}}}$, ${\displaystyle z={\dfrac {FB}{FA}}}$, alors l'aire du triangle PQR est donnée par la formule : ${\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}\times {\dfrac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}}$

Théorème de Routh

• Remarque : si les céviennes sont concourantes, l'aire du triangle est nulle, et l'on retrouve le théorème de Ceva (xyz = 1).
• Application : si x = y = z = 2, le rapport est de 1/7, triangle central du partage du triangle en sept triangles de même aire.

On applique le théorème de Ménélaüs au triangle ABD, coupé par la droite (CF) : ${\displaystyle {\dfrac {FA}{FB}}\times {\dfrac {CB}{CD}}\times {\dfrac {QA}{QD}}=1}$. D'où ${\displaystyle {\dfrac {QA}{QD}}={\dfrac {FB}{FA}}\times {\dfrac {CD}{CB}}={\dfrac {zx}{x+1}}}$.

L'aire du triangle AQC vaut ${\displaystyle S_{AQC}={\dfrac {AQ}{AD}}\times S_{ADC}={\dfrac {AQ}{AD}}\times {\dfrac {DC}{BC}}\times S_{ABC}={\dfrac {x}{zx+x+1}}\times S_{ABC}}$

Par permutation circulaire, on obtient ${\displaystyle S_{APB}={\dfrac {y}{xy+y+1}}S_{ABC}}$ et ${\displaystyle S_{BRC}={\dfrac {z}{yz+z+1}}S_{ABC}}$ .

L'aire du triangle PQR vaut donc : ${\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{AQC}-S_{APB}-S_{BRC}=S_{ABC}\times \left(1-{\dfrac {x}{zx+x+1}}-{\dfrac {y}{xy+y+1}}-{\dfrac {z}{yz++1}}\right)}$

Ou encore ${\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}\times {\dfrac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}}$

Ce théorème porte le nom du mathématicien anglais Edward Routh, professeur à l'université de Cambridge, plus connu pour ses travaux sur la stabilité des systèmes d'équations différentielles (cf. le critère de Routh-Hurwitz[1]).

Routh donne ce théorème en 1891 dans A Treatise of Analytical Statics[2], puis le reprend dans son édition de 1896[3], édition plus répandue à laquelle les mathématiciens se réfèrent.

Cependant, ce problème apparaît dès 1879 dans Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878[4], recueil d'exercices et de problèmes mathématiques destiné aux étudiants de Cambridge. La correction, donc la preuve du théorème, est due à J. W. L. Glaisher[5].

Ce problème a donné lieu à de nombreuses démonstrations, dont on trouvera des exemples et une bibliographie dans l'article de Murray S. Klamkin et A. Liu " Three more Proofs of Routh's Theorem" dans Crux Mathematicorum[6], août 1981, pages 199 et suivantes.

En 2011, Ayoub B. Ayoub publie une nouvelle preuve dans l'article "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum [7].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Routh's theorem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Murray S. Klamkin et A. Liu, « Three more proofs of Routh's theorem », Crux Mathematicorum, vol. 7, n^o 7,‎ 1981, p. 199–203 (lire en ligne).
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, énoncé p. 211, démonstration pp. 219–20, 2nd édition, Wiley, New York.
• (en) J. S. Kline et D. Velleman, « Yet another proof of Routh's theorem », Crux Mathematicorum, vol. 21, n^o 2,‎ 1995, p. 37–40 (lire en ligne)
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• (en) Eric W. Weisstein, « Routh's Theorem », sur MathWorld
• Routh’s Formula by Cross Products sur MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.