Théorème de Hamilton

Le théorème de Hamilton est un théorème de géométrie du triangle, dû à William Rowan Hamilton :

Soit ABC un triangle et H son orthocentre. Les triangles ABC, ABH, BCH et ACH ont le même cercle d'Euler.

Démonstration — Soient I_A, I_B, I_C les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. Soient H_A, H_B, H_C les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B, C. Soient J_A, J_B, J_C les milieux respectifs de [HA], [HB], [HC].

On sait que le cercle d'Euler du triangle ABC passe par ces neuf points. Pour montrer le résultat, il suffit de considérer un à un les triangles intérieurs et vérifier que leurs cercles d'Euler passent par les mêmes points.

Dans le cas du triangle ABH, il apparait que C est son orthocentre, les pieds de ses hauteurs sont H_A, H_B, H_C, les milieux de ses segments sont J_A, J_B, I_C et les milieux des segments liant ses sommets à son orthocentre sont I_A, I_B, J_C. Les triangles ABC et ABH ont donc bien le même cercle d'Euler.

On conclut en raisonnant de façon similaire sur BCH et CAH.

Illustration du théorème de Hamilton dans le triangle.

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